Diferencia entre revisiones de «Función sobreyectiva»

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Revisión del 18:55 4 sep 2021

Ejemplo de función sobreyectiva (no inyectiva).

{\begin{aligned}f:X&\longrightarrow Y\\x&\longmapsto f(x)\end{aligned}}

es sobreyectiva,^[1] epiyectiva, suprayectiva,^[1] suryectiva, exhaustiva,^[1] onto o subyectiva si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de $Y$ es la imagen de como mínimo un elemento de $\scriptstyle X$ .

Formalmente,

$\forall y\in Y\quad \exists x\in X:\quad f(x)=y$

Para todo y de Y existe x de X, que cumple que la función: f de x es igual a y.

Definición

Una función sobreyectiva es una función cuya imagen es igual a su codominio. Equivalentemente, una función $f$ con dominio $X$ y codominio $Y$ es sobreyectiva si para cada $y$ en $Y$ existe al menos una $x$ en $X$ tal que $f(x)=y$ .

Simbólicamente

f:X\to Y

entonces se dice que

f

es sobreyectiva si

\forall \;y\in Y,\exists \;x\in X:f(x)=y

Notación

En ocasiones para denotar que una función $f:X\to Y$ es sobreyectiva se utiliza la notación:

f:X\twoheadrightarrow Y

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ , entre los cuales existe una función sobreyectiva $f:A\to B$ , se tiene que los cardinales cumplen:

${\mbox{card}}(A)\geq {\mbox{card}}(B)$

Si además existe otra aplicación sobreyectiva $g:B\to A$ , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre $A$ y $B$ , por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b ^c Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.

Bibliografía

Bourbaki, Nicolas (2004) [1968]. Theory of Sets. Springer. ISBN 978-3-540-22525-6.

Datos: Q229102
Multimedia: Surjectivity / Q229102

[c-1] Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.

[1]

@@ Línea 2: / Línea 2: @@
 En [[matemáticas]], una [[función matemática|función]]:
 : <math>
-   \begin{array}{rccl}
+   \begin{align}
-      f : & X & \longrightarrow & Y \\
+    f: X & \longrightarrow  Y \\
-          & x & \longmapsto     & y = f(x)
+    x & \longmapsto f(x)
-   \end{array}
+\end{align}
 </math>
-es '''sobreyectiva''',<ref name="c">{{cita libro|título=Diccionario esencial de las ciencias|editor=Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales|isbn=84-239-7921-0|año=1999|editorial=Espsa}}</ref> '''epiyectiva''', '''suprayectiva''',<ref name="c"/> '''suryectiva''', '''exhaustiva,'''<ref name="c"/> '''onto''' o '''subyectiva''' si está aplicada sobre todo el [[codominio]], es decir,  cuando cada elemento de <math>\scriptstyle Y</math> es la [[Conjunto imagen |imagen]] de como mínimo un elemento de <math>\scriptstyle X</math>.
+es '''sobreyectiva''',<ref name="c">{{cita libro|título=Diccionario esencial de las ciencias|editor=Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales|isbn=84-239-7921-0|año=1999|editorial=Espsa}}</ref> '''epiyectiva''', '''suprayectiva''',<ref name="c"/> '''suryectiva''', '''exhaustiva,'''<ref name="c"/> '''onto''' o '''subyectiva''' si está aplicada sobre todo el [[codominio]], es decir,  cuando cada elemento de <math>Y</math> es la [[Conjunto imagen |imagen]] de como mínimo un elemento de <math>\scriptstyle X</math>.
 Formalmente,
@@ Línea 18: / Línea 18: @@
 : Para todo '''y''' de '''Y''' existe '''x''' de '''X''', que cumple que la función: '''f''' de '''x''' es igual a '''y'''.
+== Definición ==
+Una '''función sobreyectiva''' es una función cuya imagen es igual a su [[codominio]]. Equivalentemente, una función <math>f</math> con dominio <math>X</math> y codominio <math>Y</math> es sobreyectiva si para cada <math>y</math> en <math>Y</math> existe al menos una <math>x</math> en <math>X</math> tal que <math>f(x)=y</math>.
+Simbólicamente
+:<math>f:X\to Y</math> entonces se dice que <math>f</math> es sobreyectiva si
+:<math>\forall\;y\in Y, \exists\;x\in X:f(x)=y</math>
+=== Notación ===
+En ocasiones para denotar que una función <math>f:X\to Y</math> es sobreyectiva se utiliza la notación:
+:<math> f:X\twoheadrightarrow Y</math>
 == Cardinalidad y sobreyectividad ==
-Dados dos conjuntos <math>\scriptstyle A</math> y <math>\scriptstyle B</math>, entre los cuales existe una función sobreyectiva <math>f:A \to B</math>, se tiene que los cardinales cumplen:
+Dados dos conjuntos <math>A</math> y <math>B</math>, entre los cuales existe una función sobreyectiva <math>f:A \to B</math>, se tiene que los cardinales cumplen:
 {{ecuación|
 <math>\mbox{card}(A) \ge \mbox{card}(B)</math>
 ||left}}
 Si además existe otra aplicación sobreyectiva <math>g:B \to A</math>, entonces puede probarse que existe una aplicación [[función biyectiva|biyectiva]] entre <math>A</math> y <math>B</math>, por el [[teorema de Cantor-Bernstein-Schröder]].
-==Notación==
-En ocasiones se denota una función suprayectiva como :
-:<math> f:X\twoheadrightarrow Y</math>
 == Véase también ==