Ecuación de cuarto grado

Gráfico de una función polinómica de cuarto grado.

En álgebra, una ecuación de cuarto grado o ecuación cuártica con una incógnita es una ecuación algebraica​ que asume la llamada forma canónica:

Ecuación de cuarto grado $ax^{4}+bx^{3}+{cx^{2}}^{}+dx+e=0\;,\quad a\neq 0$

donde a, b, c, d y e (siendo $a\neq 0$) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los racionales $\mathbb {Q}$ y ocasionalmente son los números reales o los complejos $\mathbb {C}$.

Caso general

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas y por lo tanto también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas. En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida: $(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}\,$.​​

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

Ecuación cuártica en cuerpo finito

• Resolver la ecuación en el conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

$x^{4}-x^{2}-240=0$

una raíz en el conjunto finito de los restos de enteros de módulo 11, o sea F[11] es

$x=4$

Mediante la división sintética queda $(x+1)(x^{3}-x^{2})-240=0$​

Características

• Si el término independiente tiene signo - tiene por lo menos una raíz real.
• Si el número complejo $z=a+bi$ es la raíz de una ecuación cuártica, también lo es su conjugado $z'=a-bi$.
• La gráfica de una función polinómica (generatriz de ecuación) corta al eje X en 0, 1, 2, 3 o 4 puntos.

Un caso sencillo

Esta ecuación cuártica

$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0,$

que es unitaria, como polinomio para valores reales nunca se anula.

Por lo tanto sus cuatro raíces son complejas, en pares de conjugados. Precisamente la raíces quintas primitivas de la unidad. Estructuradas sobre la base de seno y coseno de 72º y sus múltiplos hasta el cuarto.​

Método de Descartes

Ésta es la demostración de la resolución para el método de Descartes (1637):

Sea la ecuación cuártica

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Dividimos la ecuación inicial por la componente cuártica, obtenemos:

$x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0\,$

Procedemos a realizar una transformación de Tschirnhaus, es decir, sustituir $x=w-{\frac {b}{4a}}\,$ para suprimir el término cúbico:

$\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}=0$

En efecto, al desarrollar $\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}\,$ con la identidad precedente, vemos aparecer el término $-{\frac {b}{a}}w^{3}\,$, compensado exactamente por ${\frac {b}{a}}w^{3}\,$, por lo que se eliminará el término $w^{3}\,$. La nueva ecuación escrita en términos de $w\,$ viene dada por:

$w^{4}+\underbrace {\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)} _{j}w^{2}+\underbrace {\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}\right)} _{k}w+\underbrace {\left({\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}\right)} _{l}\,=0$

que de acuerdo a las definiciones recién introducidas, escribiremos simplemente como

$w^{4}+jw^{2}+kw+l=0\,$

donde dicha expresión es la ecuación cuártica reducida, cuyas componentes se dan por:

$j={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}$

$k={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}$

$l={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}$

En este momento, la idea importante es factorizar lo anterior en $(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,$, acción que es posible ya que no está presente el término cúbico en el polinomio, y que al desarrollar la multiplicación distributivamente viene dado explícitamente por lo siguiente:

$w^{4}+(\beta +\gamma -\alpha ^{2})w^{2}+[\alpha (\gamma -\beta )]w+\beta \gamma \,=0$.

Al identificar lo anterior con los términos $j$, $k$ y $l$, obtenemos las siguientes relaciones:

$\beta +\gamma -\alpha ^{2}=j\,$,

$\alpha (\gamma -\beta )=k\,$,

$\beta \gamma =l\,$.

Si queremos encontrar el valor de $\alpha$ primeramente, consideremos las relaciones expuestas como un sistema de ecuaciones de tres incógnitas:

${\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=j\\\alpha (\gamma -\beta )=k\\\beta \gamma =l\end{cases}}$

Pasamos $\alpha ^{2}$ al miembro derecho de la primera ecuación, obtenemos:

$\beta +\gamma =j+\alpha ^{2}$

Pasamos $\alpha$ al miembro derecho de la segunda ecuación, obtenemos:

$\gamma -\beta ={\frac {k}{\alpha }}\,$

Con los resultados obtenidos, formamos un nuevo sistema.

${\begin{cases}\beta +\gamma =j+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {k}{\alpha }}\end{cases}}$

Sumamos y restamos las dos ecuaciones del nuevo sistema, y juntamos los resultados en otro nuevo sistema:

${\begin{cases}2\beta =j+\alpha ^{2}-{\frac {k}{\alpha }}\\2\gamma =j+\alpha ^{2}+{\frac {k}{\alpha }}\end{cases}}$

Multiplicamos las ecuaciones del sistema reciente, obtenemos:

$4\beta \gamma =\alpha ^{4}+2j\alpha ^{2}+j^{2}-{\frac {k^{2}}{\alpha ^{2}}}$

Nos damos cuenta de que existe $\beta \gamma$, por tanto lo reemplazamos por $l$:

$4l=\alpha ^{4}+2j\alpha ^{2}+j^{2}-{\frac {k^{2}}{\alpha ^{2}}}$

Pasamos $4l$ al otro miembro de la igualdad con signo opuesto, esto da:

$\alpha ^{4}+2j\alpha ^{2}+j^{2}-{\frac {k^{2}}{\alpha ^{2}}}-4l=0$

Como hay un término fraccionario, procuramos multiplicar la ecuación por $\alpha ^{2}$:

$\alpha ^{6}+2j\alpha ^{4}+j^{2}\alpha ^{2}-k^{2}-4l\alpha ^{2}=0$

Por último, indicamos factor común en $j^{2}\alpha ^{2}$ y $4l\alpha ^{2}$:

$\alpha ^{6}+2j\alpha ^{4}+(j^{2}-4l)\alpha ^{2}-k^{2}=0$

Esto aparenta ser una ecuación de sexto grado, pero si la miramos con mucho cuidado, $\alpha$ solamente aparece con potencias pares. Por tanto, hacemos la sustitución $\alpha ^{2}=y$:

$y^{3}+2jy^{2}+(j^{2}-4l)y-k^{2}=0\,$

Esto resulta ser una ecuación de tercer grado en la variable $y\,$ (denominada ecuación cúbica resolvente), que se puede resolver usando el método de Cardano. Una vez resuelta, queremos hallar el propio valor de $\alpha$, por tanto extraemos raíz cuadrada en ambos miembros (imponiendo la restricción de que al menos una solución de la ecuación cúbica resolvente solo puede tomar valores reales positivos o cero, de lo contrario, ocasionaría el origen de un número imaginario no deseado, porque no existen raíces cuadradas de números negativos dentro de los números reales):

$\alpha ={\sqrt {y}}\Leftrightarrow y\geq 0$

Por tanto, hemos hallado la solución para $\alpha$. Por tanto, reemplazando $\alpha$ en el sistema anterior al reciente, obtenemos las soluciones $\beta$ y $\gamma$:

$2\beta =j+y-{\frac {k}{\sqrt {y}}}\rightarrow \beta ={\frac {j+y-{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}$

$2\gamma =j+y+{\frac {k}{\sqrt {y}}}\rightarrow \gamma ={\frac {j+y+{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}$

Reemplazamos los valores de $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ en el producto del cual factorizaríamos la ecuación cuártica reducida:

$(w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0$

$\left(w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {j+y-{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)\left(w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {j+y+{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=0$

Aplicamos la ley del producto nulo en ambos factores, esto los separa en dos ecuaciones cuadráticas distintas:

$w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {j+y-{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}=0$

$w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {j+y+{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}=0$

Calculamos el discriminante de la primera ecuación cuadrática (sabiendo que $a=1$, $b={\sqrt {y}}$ y $c={\frac {j+y-{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}$):

$\Delta _{1}=b^{2}-4ac=\left({\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {j+y-{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=y-2j-2y+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}=-y-2j+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}$

Calculamos el discriminante de la segunda ecuación cuadrática (sabiendo que $a=1$, $b=-{\sqrt {y}}$ y $c={\frac {j+y+{\frac {k^{2}}{\sqrt {y}}}}{2}}$):

$\Delta _{2}=b^{2}-4ac=\left(-{\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {j+y+{\frac {k}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=y-2j-2y-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}=-y-2j-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}$

Resolvemos ambas ecuaciones por separado (recordemos que hemos denominado sus respectivos discriminantes como $\Delta _{1}$ y $\Delta _{2}$, porque ambas ecuaciones tienen la misma incógnita $w$).

Resolvemos la primera ecuación:

$w_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{1}}}}{2a}}={\frac {-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2j+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2j+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)$

Resolvemos la segunda ecuación:

$w_{3,4}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{2}}}}{2a}}={\frac {{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2j-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}}{2}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2j-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)$

Entonces las soluciones de la ecuación cuártica reducida son (ordenándolas por signos positivos y negativos):

${\begin{cases}w_{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2j-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)\\w_{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2j-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)\\w_{3}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2j+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)\\w_{4}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2j+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)\end{cases}}$

Y ahora, el último paso para conseguir las soluciones de la ecuación original es utilizar la suiguiente fórmula de la transformación de Tschirnhaus al inicio de la demostración.

$x_{n}=w_{n}-{\frac {b}{4a}}\qquad \mathrm {donde} \qquad n=1,2,3,4.$

Por tanto, reemplazamos $w$ en la fórmula para $n=1,2,3,4$:

${\begin{cases}x_{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2j-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)-{\frac {b}{4a}}\\x_{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2j-{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)-{\frac {b}{4a}}\\x_{3}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2j+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)-{\frac {b}{4a}}\\x_{4}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2j+{\frac {2k}{\sqrt {y}}}}}\right)-{\frac {b}{4a}}\end{cases}}$

Por otro lado, si utilizamos las relaciones de Cardano-Vieta en las soluciones de la ecuación cuártica original, podemos tener las componentes cúbica, cuadrática, lineal y el término independiente en la ecuación original:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}\end{cases}}$

Ecuaciones bicuadradas

Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$ax^{4}+bx^{2}+c=0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable $x^{2}=t$, con lo que nos queda:

$at^{2}+bt+c=0$

El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$t={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:

$x_{1}=+{\sqrt {t_{1}}}$

$x_{2}=-{\sqrt {t_{1}}}$

$x_{3}=+{\sqrt {t_{2}}}$

$x_{4}=-{\sqrt {t_{2}}}$

Obtención de una ecuación a partir de una raíz

Sea $x_{0}$ una raíz cuyo valor se conoce:

$x={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$

Deshaciendo raíces con potencias: $x^{2}=2+{\sqrt {2}}$ $x^{2}-2={\sqrt {2}}$ $(x^{2}-2)^{2}=2$ $x^{4}-4x^{2}+2=0$ Las otras raíces son $x_{2}=-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$, $x_{3}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ y $x_{4}=-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$.​

• Otro caso particular: Ecuaciones cuasisimétricas.

El siguiente tipo de ecuación

$x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+m^{2}=0\,$, donde $m={\frac {a_{3}}{a_{1}}}\,$, puede ser resuelto así:

Al dividir la ecuación por $x^{2}$, se obtiene

$x^{2}+{\frac {m^{2}}{x^{2}}}+a_{1}x+{\frac {a_{3}}{x}}+a_{2}=0$

$(x^{2}+{\frac {m^{2}}{x^{2}}})+a_{1}(x+{\frac {m}{x}})+a_{2}=0$

Haciendo cambio de variable:

$z=x+{\frac {m}{x}}\,$

llegamos a

$z^{2}-2m=x^{2}+{\frac {m^{2}}{x^{2}}}\,$

Así

$(z^{2}-2m)+a_{1}z+a_{2}=0\,$

Esta ecuación da 2 raíces, $z_{1}$ y $z_{2}$

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes ecuaciones cuadráticas:

$x^{2}-z_{1}x+m=0\,$

y

$x^{2}-z_{2}x+m=0\,$

Si $a_{0}$ no es 1 en $a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{0}m^{2}=0\,$

este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre $a_{0}$.

Las ecuaciones cuasisimétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las define: si $x_{1}$, $x_{2}$, y $x_{3}$,$x_{4}$ son las raíces de la ecuación, entonces $x_{1}x_{2}=m$. Dado que el producto de las 4 raíces es $m^{2}$, entonces $x_{3}x_{4}=m$ necesariamente.

Ecuaciones simétricas de cuarto grado

Tienen la forma $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ con a ≠ 0. Todos los coeficientes son números racionales.

Bibliografía

1. Álgebra superior de A. Adrian Albert
2. Curso de Álgebra superior de A. G. Kurosch
3. OTRAS SOLUCIONES ALGEBRAICAS A LAS ECUACIONES POLINOMICAS DE TERCER Y CUARTO GRADO de LUIS ALBERTO RAMIREZ CASTELLANOS, revista de matemática de la universidad del Atlántico, MATUA, vol. 5 No. 2 2018.

Véase también

• Ecuación
• Sistema de ecuaciones
• Curva cuártica

• Ecuación de primer grado
• Ecuación de segundo grado
• Ecuación de tercer grado

• Ecuación de quinto grado
• Ecuación de sexto grado
• Ecuación de séptimo grado
• Ecuación de octavo grado

Enlaces externos

• Una solución a la de cuarto
• Resolución de ecuaciones de cuarto grado: Calculator for solving Quartics (also solves Cubics and Quadratics)
• Una solución a la de cuarto que incluye un programa en mat-lab para resolver ecuaciones de 4º
• [http://investigaciones.uniatlantico.edu.co/revistas/index.php/MATUA/article/view/2132 OTRAS SOLUCIONES ALGEBRAICAS A LAS ECUACIONES POLINOMICAS DE TERCER Y CUARTO GRADO

Luis Alberto Ramirez-Castellanos]

• Datos: Q476776