Hipérbola

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.​

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a la distancia entre los vértices.

Secciones cónicas.

Etimología. Hipérbole e hipérbola

Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Véase también: hipérbole

Historia

Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,​ donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.​

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,​ considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:

Ecuación de una hiperbola con centro en el origen de coordenadas $(0,0)\,$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h,k)\,$

${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1$

Ejemplos:

a)

${\frac {(x)^{2}}{25}}-{\frac {(y)^{2}}{9}}=1$

b)

${\frac {(x)^{2}}{9}}-{\frac {(y)^{2}}{25}}=1$

Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hipérbolas y sus asíntotas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

$r^{2}=a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

$r^{2}=-a\sec 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

$r^{2}=a\csc 2\theta \,$

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

$r^{2}=-a\csc 2\theta \,$

Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

${\begin{matrix}x=a\sec t+h\\y=b\tan t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=\pm a\cos t+h\\y=b\ \operatorname {sen} \ t+k\\\end{matrix}}$

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

${\begin{matrix}x=a\tan t+h\\y=b\sec t+k\\\end{matrix}}\qquad \mathrm {o} \qquad {\begin{matrix}x=a\ \operatorname {sen} \ t+h\\y=\pm b\cos t+k\\\end{matrix}}$

Véase también

• Circunferencia
• Parábola
• Elipse
• Sección cónica
• Geometría analítica

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Hipérbola.
• Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica hipérbola