Punto (geometría)

La intersección de los ejes de coordenadas cartesianas es un punto llamado origen.

El punto, en geometría, es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es un elemento geométrico adimensional, no tiene ni volumen, ni área ni longitud ni otro análogo dimensional; no es un objeto físico; describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

Historia

El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides, en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.

Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality), Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico.​

Representación gráfica

Generalmente se representa por una pequeña mancha redonda, sin embargo, esta forma de representación no corresponde a la realidad puesto que la “manchita o circulito” siempre tiene una pequeña superficie (área). La forma geométrica de representar un punto es mediante dos líneas que se intersecan o cortan, una pequeña “equis” (x).

En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).

Determinación geométrica

Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:

En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).

En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).

En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)

En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).

También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.

Puntos, rectas y planos: posiciones relativas

En función de su posiciones relativas, existen dos tipos de puntos: colineales y coplanarios. Los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta, no importando cuantos puntos sean mientras estén alineados y dentro de la recta. Se denominan puntos coplanarios a aquellos que están contenidos en un mismo plano.

Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto

Postulados en geometría euclidiana

• Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
• Dos puntos determinan una recta y sólo una.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.

Teoremas en geometría euclidiana

• Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.

Véase también

• Punto medio
• Recta
• Plano
• Figura geométrica
• Postulados característicos

Referencias

Notas

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre punto.
• Weisstein, Eric W. Point from MathWorld
• Point-free geometry, en planetmath.org