Vector

Un vector es una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio.

De un modo más formal y abstracto, un vector es una magnitud física tal que, una vez establecida una base, se representa por una secuencia de números o componentes independientes tales que sus valores sean relacionables de manera sistemática e inequívoca cuando son medidos en diferentes sistemas de coordenadas.

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos $\mathbb {R} ^{2}$ o $\mathbb {R} ^{3}$; es decir, bidimensional o tridimensional.

Ejemplos

• La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige.

• La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera.

• El desplazamiento de un objeto.

Conceptos básicos

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, las componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Magnitudes escalares y vectores

Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y de los versores cartesianos.

Representación de los vectores

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc., que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras que son llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, determinada por el ángulo que forma el vector con los ejes de coordenadas. Así pues, podemos enunciar:

Un vector es una magnitud física que tienen módulo y dirección.

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el modulo del vector y la "punta de flecha" indica su dirección.

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Ejemplos:

• $\mathbf {A} ,\ \mathbf {a} ,\ {\boldsymbol {\omega }},$ ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: $|\mathbf {A} |,\ |\mathbf {a} \,\ |{\boldsymbol {\omega }}|,$ ...
• En los textos manuscritos escribiríamos: ${\vec {A}},\ {\vec {a}},\ {\vec {\omega }},$... para los vectores y $|{\vec {A}}|,\ |{\vec {a}}|,\ |{\vec {\omega }}|,$... o $A,\ a,\ {\omega },$... para los módulos.

Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 2 en la forma $\mathbf {A} ={\text{MN}},\mathbf {B} ={\text{OP}}\,$, ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo ${\hat {\mathbf {u} }},{\hat {\mathbf {v} }}$.

Tipos de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

• Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
• Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

Podemos referirnos también a:

• Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
• Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
• Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
• Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
• Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Componentes de un vector

Componentes del vector

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres de vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por $\mathbf {i} \,$, $\mathbf {j}$, $\mathbf {k}$, paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

$\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})$

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

$\mathbf {a} =a_{x}\,\mathbf {i} +a_{y}\,\mathbf {j} +a_{z}\,\mathbf {k}$

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a_x, a_y, a_z, son las componentes vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {a} =[a_{x}\ a_{y}\ a_{z}]$

Con esta notación, los versores cartesianos quedan expresados en la forma:

${\mathbf {i} }=[1\ 0\ 0],\ {\mathbf {j} }=[0\ 1\ 0],\ {\mathbf {k} }=[0\ 0\ 1]$

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres vector y vector se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del paralelogramo

Método del triángulo

Método del paralelogramo

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. A continuación se une el origen del primer vector con el extremo del segundo.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

$\mathbf {a} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )$

$\mathbf {b} =(b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )$

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

$\mathbf {a} \pm \mathbf {b} =(a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} )\pm (b_{x}\mathbf {i} +b_{y}\mathbf {j} +b_{z}\mathbf {k} )$

y ordenando las componentes,

$\mathbf {a} \pm \mathbf {b} =(a_{x}\pm b_{x})\mathbf {i} +(a_{y}\pm b_{y})\mathbf {j} +(a_{z}\pm b_{z})\mathbf {k}$

Con la notación matricial sería

$\mathbf {a} \pm \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}\pm {\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}\pm b_{x}\\a_{y}\pm b_{y}\\a_{z}\pm bz\\\end{bmatrix}}$

Conocidos los módulos de dos vectores dados, $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$, así como el ángulo $\theta$ que forman entre sí, el módulo de $\mathbf {a} \pm \mathbf {b}$ es:

$|\mathbf {a} \pm \mathbf {b} |={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \theta }}$

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

Producto de un vector por un escalar

Producto por un escalar

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean $p\,$ un escalar y $\mathbf {a}$ un vector, el producto de $p\,$ por $\mathbf {a}$ se representa $p\,\mathbf {a}$ y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es,

$p\,\mathbf {a} =pa_{x}\mathbf {i} +pa_{y}\mathbf {j} +pa_{z}\mathbf {k}$

Con la notación matricial sería

$p\,\mathbf {a} =p\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\,a_{x}\\p\,a_{y}\\p\,a_{z}\\\end{bmatrix}}$

Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

$\mathbf {a} (t)=a_{x}(t)\mathbf {i} +a_{y}(t)\mathbf {j} +a_{z}(t)\mathbf {k}$

Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

${\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)={\frac {d}{dt}}a_{x}(t)\mathbf {i} +{\frac {d}{dt}}a_{y}(t)\mathbf {j} +{\frac {d}{dt}}a_{z}(t)\mathbf {k}$

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

${\frac {d}{dt}}\mathbf {a} (t)={\frac {d}{dt}}\,{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {d}{dt}}a_{x}\\{\frac {d}{dt}}a_{y}\\{\frac {d}{dt}}a_{z}\\\end{bmatrix}}$

$\mathbf {r} (t)=\sin(t)\mathbf {i} +\cos(t)\mathbf {j} +5t\mathbf {k}$

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

$\mathbf {r} (t)=\sin(t)\mathbf {i} +\cos(t)\mathbf {j} +5t\mathbf {k}$

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función $\mathbf {r} (t)\,$ representa el vector de posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}={\frac {d}{dt}}\sin(t)\mathbf {i} +{\frac {d}{dt}}\cos(t)\mathbf {j} +{\frac {d}{dt}}5t\mathbf {k}$

Realizando la derivada:

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\cos(t)\mathbf {i} -\sin(t)\mathbf {j} +5\mathbf {k}$

La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

$\mathbf {v} (t)=\cos(t)\mathbf {i} -\sin(t)\mathbf {j} +5\mathbf {k}$

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Ángulo entre dos vectores

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ viene dado por:

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}}$

Cambio de base vectorial

Cambio de base vectorial

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1.

Sea un vector $\mathbf {A} \,$ expresado en una sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) con una base vectorial ${\mathcal {B}}$ asociada definida por los versores $\left(\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \,\right)$; esto es,

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}$

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial ${\mathcal {B}}'$ asociada definida por los versores $\left(\mathbf {i} ',\mathbf {j} ',\mathbf {k} '\,\right)$. Las componentes del vector $\mathbf {A} \,$ en esta nueva base vectorial serán:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B}}'}$

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

$\mathbb {R} \,\mathbf {A} _{\mathcal {B}}=\mathbf {A} _{{\mathcal {B}}'}$

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

Cambio de base vectorial

Ejemplo

En el caso simple en el que el giro tenga magnitud $\theta \,$ alrededor del eje z, tendremos la transformación:

$\mathbb {R} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector $\mathbf {A} \,$ en la nueva base vectorial:

${\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}_{\mathcal {B}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\\A'_{z}\end{bmatrix}}_{{\mathcal {B}}'}$

siendo

$A'_{x}=A_{x}\cos \theta +A_{y}\sin \theta \,$

$A'_{y}=-A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,$

$A'_{z}=A_{z}\,$

las componentes del vector en la nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudes vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores $O\,$ y ${\bar {O}}$ deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

${\bar {V}}^{\beta }=\sum _{\alpha =0}^{3}\Lambda _{\alpha }^{\beta }\ V^{\alpha }$

Donde $\Lambda _{\alpha }^{\beta }$ son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

Véase también

• Producto escalar
• Producto vectorial
• Doble producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base ortogonal
• Base ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares

Referencia

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

• Juega con vectores
• Demostración gráfica de operaciones básicas con Vectores