Doble producto vectorial

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Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión    o   ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:

demostrada más adelante.

Propiedades[editar]

Regla del Chanchito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.
  • Según la fórmula, es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
  • Evidentemente, el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).

El vector

está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.

Notación de Levi-Civita[editar]

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

Demostración[editar]

Gráfico tridimensional del doble producto vectorial A x (B x C)

Sea el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector en una componente paralela a B y otra paralela a C.

(1)

Para facilitar la demostración primero se supondrá ; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1):

Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):

El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:

Igualando las expresiones anteriores se tiene:

(2)

El producto da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:

Como es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera:

Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con (2).

Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en (1) el producto escalar por el vector C:

En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector es opuesto a B. Esto implica:

Reemplazamos x e y en (1) y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C perpendiculares.

(*)

Fórmula general[editar]

Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.

Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (*):

De modo que se puede desarrollar de esta manera:

Ahora, tenemos . Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.

Esta última identidad coincide con (*) y vale para cualquiera sean A, B y C.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]