Símbolo de Levi-Civita

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Símbolo de Levi-Civita.

En matemáticas, y en particular en cálculo tensorial, se define el símbolo de Levi-Civita, también llamado el símbolo de permutación o tensor de Levi-Civita, como sigue:

\epsilon_{ijk} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ o } (3,1,2)\\
-1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3)\\
0  & \mbox{de otro modo }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i
\end{matrix}
\right.

nombrado así por Tullio Levi-Civita. Se utiliza en muchas áreas de las matemáticas y en física. Por ejemplo, en álgebra lineal, el producto vectorial de dos vectores se puede escribir como:


\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \left(
\sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k \right) \mathbf{e}_i

o más simplemente:


\mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k

esta última expresión puede ser simplificada más usando la notación de Einstein, convención en la que se puede omitir el símbolo de sumatoria. El tensor cuyas componentes son dadas por el símbolo de Levi-Civita (un tensor covariante de rango 3) a veces se llama el tensor de permutación.

El símbolo de Levi-Civita se puede generalizar a dimensiones más altas:

\epsilon_{ijkl\dots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{si }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ es una permutación par de } (1,2,3,4,\dots) \\
-1 & \mbox{si }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ es una permutación impar de } (1,2,3,4,\dots) \\
0  & \mbox{si dos índices son los mismos}
\end{matrix}
\right.

Ver permutación par o grupo simétrico para una definición de 'permutación par' y de 'permutación impar'.

Definición[editar]

Las dimensiones más comunes del símbolo Levi-Civita son 3d y 4d, y en cierta medida 2d, por lo que es útil para ver estas definiciones antes de la generalizar a cualquier número de dimensiones.

Dos Dimensiones[editar]

El símbolo Levi-Civita en dos dimensiones se define por:

\epsilon_{ij} = \left\{  \begin{matrix}
+1 & \mbox{si } (i,j) \mbox{ es } (1,2)\\
-1 & \mbox{si } (i,j) \mbox{ es } (2,1)\\
0  & \mbox{de otro modo }i=j  \end{matrix}  \right.

Tres Dimensiones[editar]

El símbolo Levi-Civita en tres dimensiones se define como sigue:

\epsilon_{ijk} = \left\{   \begin{matrix}
+1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ o } (3,1,2)\\
-1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3)\\
0  & \mbox{de otro modo }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i
\end{matrix} \right.

Cuatro Dimensiones[editar]

+1 si ijkl es (1,2,3,4);(2,3,4,1);(3,4,1,2);(4,1,2,3)
-1 si ijkl es (4,3,2,1);(1,4,3,2);(2,1,4,3);(3,2,1,4)
0 de otro modo

Generalización a n Dimensiones[editar]

Refernecias[editar]

Bibliografía[editar]

  • R. Byron Bird; Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot (2006). «Apéndice A» (en Español). Fenómenos de Transporte (2ᵃ edición). México: Limusa Wiley. pp. 951,952. ISBN 968-18-6365-8.