Teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados

Pierre de Fermat.

En teoría de números, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados establece la relación que hay entre los números primos representables como suma de dos cuadrados. En concreto, el teorema dice lo siguiente:

Un número primo p es expresable como suma de dos cuadrados si y sólo si p = 2 ó p ≡ 1 (mod 4). Pierre de Fermat (1640)

O sea, p = x²+y², donde x e y son números enteros, si p =4k+1 pará algún k entero, o escrito en notación moderna, p ≡ 1 (mod 4) (véase aritmética modular).

El teorema es también conocido como lema de Thue, debido al matemático noruego Axel Thue.

Historia

Fermat anunció su teorema en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat.​

Como era habitual el Fermat, éste no dio ninguna demostración de su teorema y fue Leonhard Euler, tras mucho esfuerzo, el primero que dio una demostración formal basada en descenso infinito. Fue anunciada en una carta escrita a Christian Goldbach el 12 de abril de 1749.​ Lagrange publicó una demostración en 1775 basada en su estudio de formas cuadráticas. Esta demostración fue simplificada por Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae.​Dedekind dio otras dos demostraciones basadas en la aritmética de los enteros gaussianos. Hay incluso una demostración elegante usando el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos.

Ejemplos

Por ejemplo, los números primos 5,13,41,61 son de la forma 4k+1, y por el teorema pueden ser escritos como suma de dos cuadrados de la siguiente manera:

• $5=1^{2}+2^{2}\,\!$
• $13=2^{2}+3^{2}\,\!$
• $41=4^{2}+5^{2}\,\!$
• $61=5^{2}+6^{2}\,\!$

Generalización

Fermat anunció otros resultados relacionados catorce años más tarde. Así, en una carta escrita a su amigo Blaise Pascal el 25 de Septiembre de 1654, anunciaba los siguientes resultados para números primos mayores que 2:​

• Cada número primo, que es mayor en una unidad a un múltiplo de 3, está compuesto por un cuadrado y el triple de otro cuadrado como 7, 13, 19, 31, 37, ...
  
• Cada número primo, que es mayor que 1 o que 3 de un múltiplo de 8, está compuesto por un cuadrado y el doble de otro cuadrado como 11, 17, 19, 41, 43, ...

Pierre de Fermat

Lo que en términos modernos viene a ser:

• $p=x^{2}+3y^{2}\Leftrightarrow p\equiv 1{\pmod {3}}.$
• $p=x^{2}+2y^{2}\Leftrightarrow p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {8}}.$

Véase también

• Pierre de Fermat
• Pequeño teorema de Fermat
• Último teorema de Fermat

Referencias

• Stillwell, John (1996). Introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge University Press. ISBN 0-521-56518-9. 
• Cox, D. A. (1998). Primes of the Form x²+ny². Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.