Último teorema de Fermat

Pierre de Fermat.

En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de las matemáticas. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:

Si n es un número entero mayor o igual que 3, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$ Pierre de Fermat

Esto es así salvo el caso de las soluciones triviales (0,1,1), (1,0,1) y (0,0,0). Es importante recalcar que han de ser positivos ya que si pudiese ser alguno de ellos negativo, no es difícil encontrar soluciones no triviales para algún caso en el que n es mayor que 2. Por ejemplo si n fuese cualquier número impar, las ternas de la forma (a, -a, 0) con a un número entero positivo, son solución.

Este teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.

Introducción histórica

Arithmetica de Diofanto. La edición de 1670 incluye los comentarios de Fermat; el que se halla bajo el problema VIII es conocido como su «último teorema».

Pierre de Fermat poseía una edición bilingüe (griego y latín) de la Arithmetica de Diofanto, traducida por Claude Gaspar Bachet. Fermat escribió un comentario, de hecho, un acertijo, en el margen de cada problema, y uno por uno han sido resueltos por personalidades como Leibniz, Newton, etc. Solo quedó sin resolver el acertijo que propuso debajo del problema VIII, que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados (es decir, encontrar ternas pitagóricas). Ahí, Fermat escribió:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.

Pierre de Fermat​

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Historia de la demostración del teorema

Pierre de Fermat

El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, una variante del principio de inducción.

Leonhard Euler

Leonhard Euler demostró el caso n = 3. El 4 de agosto de 1753 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una falacia en la demostración de Euler. Corregirla directamente era demasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontrar una solución correcta por medios más simples. Por esto se consideró que Euler había demostrado ese caso. Del análisis de la demostración fallida de Euler surgió la evidencia de que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros.

Sophie Germain

El siguiente mayor paso fue hecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y o z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:

• Caso 1: ninguno de los x, y, z es divisible por p;
• Caso 2: uno y solo uno de x, y, z es divisible por p.

Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.

Ernst Kummer y otros

Cronología​

Año	Acontecimiento
1665	Muere Fermat sin dejar constancia de su demostración.
1753	Leonhard Euler demostró el caso $n=3$.
1825	Adrien-Marie Legendre demostró el caso para $n=5$.
1839	Lamé demostró el caso n=7.
1843	Ernst Kummer afirma haber demostrado el teorema pero Dirichlet encuentra un error.
1995	Andrew Wiles publica la demostración del teorema.

No fue hasta 1825 cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Legendre generalizaron para n=5 la demostración de Euler. Lamé demostró el caso n=7 en 1839.

Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números complejos ideales. Un año después Kummer afirma que el número 37 no es un primo regular (Ver: Números de Bernoulli). Luego se encuentra que tampoco 59 y 67 lo son. Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros extienden la investigación a números más grandes. En 1915 Jensen demuestra que existen infinitos primos irregulares. La investigación se estanca por esta vía de la divisibilidad, a pesar de que se logran comprobaciones para n menor o igual a 4 000 000.

Andrew Wiles

En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics, demostró el caso semiestable del teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las formas modulares y las curvas elípticas. De este trabajo, combinado con ideas de Frey y con el teorema de Ribet, se desprende la demostración del último teorema de Fermat.​ Aunque una versión anterior (no publicada) del trabajo de Wiles contenía un error, este pudo ser corregido en la versión publicada, que consta de dos artículos, el segundo en colaboración con el matemático Richard Taylor. En estos trabajos por primera vez se establecen resultados de modularidad a partir de modularidad residual, por lo cual los resultados del tipo de los probados por Wiles y Taylor son denominados «teoremas de levantamiento modular». En la actualidad, resultados de este tipo, mucho más generales y poderosos, han sido probados por varios matemáticos: además de generalizaciones probadas por Wiles en colaboración con C. Skinner y de Taylor en colaboración con M. Harris, los más generales en la actualidad se deben a Mark Kisin. En el trabajo de 1995 de Wiles se abrió una nueva vía, prácticamente una nueva área: la de la modularidad. Con estas técnicas, de las que este trabajo fue pionero, se han resuelto más recientemente otras importantes conjeturas, como la conjetura de Serre y la de Sato-Tate. Curiosamente, la resolución de los primeros casos de la conjetura de Serre (trabajos de Khare, Wintenberger y Dieulefait), como observara el propio Serre al formular la conjetura, permite una nueva demostración del último teorema de Fermat.​

Los trabajos de Wiles por lo tanto tienen una importancia que trasciende ampliamente su aplicación al último teorema de Fermat: se consideran centrales en la geometría aritmética moderna y se espera que sigan jugando un rol vital en la demostración de resultados de modularidad que se enmarcan en el programa de Langlands.

Véase también

• Pierre de Fermat
• Pequeño teorema de Fermat
• Número primo de Fermat
• Espiral de Fermat
• Conjetura de Beal

Bibliografía

• El último teorema de Fermat. Simon Singh. ISBN 958-04-4865-5
• El enigma de Fermat. Simon Singh. ISBN 978-84-08-06572-2

Enlaces externos

• Notas sobre el último teorema de Fermat
• Biografía de Fermat

• Datos: Q132469
• Multimedia: Fermat's last theorem / Q132469