Símbolo de Legendre

El símbolo de Legendre es una función multiplicativa utilizada en teoría de números que toma como argumentos un entero $a$ y un primo $p$ y devuelve uno de los valores 1, -1, o 0 dependiendo de si $a$ es o no residuo cuadrático módulo $p$, es decir de si la congruencia

$x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$

tiene o no solución.

El símbolo de Legendre fue introducido por Adrien-Marie Legendre in 1798​ en el curso de sus intentos de demostrar la ley de reciprocidad cuadrática. Generalizaciones del símbolo incluyen el símbolo de Jacobi y los caracteres de Dirichlet de orden superior. La conveniencia de la notación del símbolo de Legendre inspiró la introducción de varios otros símbolos que se utilizan en la teoría algebraica de números, como el símbolo de Hilbert y el símbolo de Artin.

Definición

Dado un número a y un primo impar p, se define el símbolo de Legendre como:

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}p{\mbox{ divide a }}a\\1&{\mbox{si }}a{\mbox{ es residuo cuadrático módulo }}p\\-1&{\mbox{si }}a{\mbox{ no es residuo cuadrático módulo }}p\\\end{cases}}$

Ejemplo

$x=2\Rightarrow 2^{2}\equiv 1{\pmod {3}}\Rightarrow \left({\frac {1}{3}}\right)=1$.

Formulaciones alternativas

Para algunos valores concretos de $a$, el símbolo de Legendre aún puede simplificarse más:

• a) $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p-1}{2}}$.

• b) $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p^{2}-1}{8}}$.

Propiedades

El símbolo de Legendre satisface algunas propiedades interesantes:

• i) $\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\tfrac {p-1}{2}}{\tfrac {q-1}{2}}}$ para todo par de primos impares $p,q$.

• ii) $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$.

Véase también

• Criterio de Euler
• Símbolo de Jacobi
• Símbolo de Kronecker

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Legendre Symbol». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.