Diferencia entre revisiones de «Ecuación de segundo grado»

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Revisión del 02:54 12 dic 2008

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales diferentes, un número real doble, o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

$\Delta =b^{2}-4ac\,$

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente

Historia

La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

'== Solución general de la ecuación de segundo grado ==

La ecuación de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula:

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

,

donde el símbolo "±" indica que ambas

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

y

\ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

son soluciones.

A la expresión dentro de la raíz cuadrada se le conoce como discriminante y en función del mismo la ecuación admite tres tipos de soluciones:

Dos soluciones reales diferentes si el discriminante es positivo;
Una solución real doble, si el discriminante vale cero;
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo.

Obtención de la fórmula

Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática) podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula resolvente de dicha ecuación. Considerando,

$ax^{2}+bx+c=0\,$

donde $a\neq 0$ para forzar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.

Dividimos todo por a:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

Pasamos restando el término independiente del otro lado de la igualdad:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}$

Completamos cuadrados para llegar a un binomio cuadrado perfecto y sumamos a ambos lados de la igualdad para mantener la misma:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}=-{\frac {c}{a}}+({\frac {b}{2a}})^{2}$

$(x+{\frac {b}{2a}})^{2}=-{\frac {c}{a}}+({\frac {b}{2a}})^{2}$

Despejamos x:

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}+({\frac {b}{2a}})^{2}}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {-c4a+b^{2}}{4a^{2}}}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}$

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\wedge x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Teorema de Cardano-Viète

Para toda ecuación cuadrática de la forma

$ax^{2}+bx+c=0\,$

de raíces $x_{1};x_{2}\,$ se cumple:

Suma de raíces:

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,

Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen al ser opuestas

x_{1}+x_{2}={\frac {-2b}{2a}}\,

Simplificando nos queda

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,

Producto de raíces:

x_{1}.x_{2}={\frac {c}{a}}\,

Demostración:

Partiendo del uso de la fórmula resolvente

x_{1}.x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,

Realizando la multiplicación, por medio de binomios conjugados en el numerador

x_{1}.x_{2}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{(2a)^{2}}}\,

Resolviendo las potencias nos queda:

x_{1}.x_{2}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\,

Distribuyo el menos y sumo en el numerador

x_{1}.x_{2}={\frac {4ac}{4a^{2}}}\,

Simplificando nos queda:

x_{1}.x_{2}={\frac {c}{a}}\,

Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces.

$(x_{1}+x_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}=4(x_{1}.x_{2})\,$

Véase también

Enlaces externos

Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática.
La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es

@@ Línea 114: / Línea 114: @@
 Además se puede hacer uso de la [[identidad de Legendre]] para obtener la diferencia de raíces.
 {{ecuación|1= <math> (x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1.x_2) \, </math>}}
-== Solución mediante cambio de variable ==
-Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable.
-En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo <math>a x^2 + b x + c = 0 \,</math>, el cambio de variable necesario es del tipo <math>x = t + n \,</math>.
-Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación <math>a (t+n)^2 + b (t+n) +c = 0 \,</math>
-y, desarrollándola, queda <math>a t^2 + (2 a n + b) t + a n^2 + b n +c = 0 \,</math>                 '''(1)'''.
-Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo <math>x^2 = K \,</math> se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo <math>x = \pm \sqrt {K} \,</math>.
-Para poder transformar nuestra ecuación '''(1)''' en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que <math>2 a n + b = 0 \,</math>, es decir  <math>n = -\frac {b} {2 a} \,</math>
-Sustituyendo en '''(1)''' queda <math>a t^2 -\frac {b^2} {4 a} + c =0 \,</math>. '''(2)'''
-Esta nueva ecuación está en la forma  <math>t^2 = K \,</math> que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo <math>t = \pm \sqrt {K} \,</math>
-Por tanto, despejando la variable <math>t \,</math> en la ecuación '''(2)''', queda <math>t = \pm \frac { \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}</math>
-Dado que <math>x = t + n \,</math>, y que <math>n = -\frac {b} {2 a} \,</math>, obtenemos la solución de la ecuación original con variable en <math>x \,</math>, que es
-<math>x = -\frac {b} {2 a} \ \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}</math>
-El "truco" de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.