Ecuación de segundo grado

Ecuación cuadrática

Gráficas de funciones cuadráticas.

Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Generalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en forma canónica:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

Esta ecuación admite tres posibilidades para las soluciones: dos números reales diferentes, un número real doble, o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

$\Delta =b^{2}-4ac\,$

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente

Historia

La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

'== Solución general de la ecuación de segundo grado ==

La ecuación de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ,

donde el símbolo "±" indica que ambas

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

y

$\ x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

son soluciones.

A la expresión dentro de la raíz cuadrada se le conoce como discriminante y en función del mismo la ecuación admite tres tipos de soluciones:

1. Dos soluciones reales diferentes si el discriminante es positivo;
2. Una solución real doble, si el discriminante vale cero;
3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo.

Teorema de Cardano-Viète

Para toda ecuación cuadrática de la forma

$ax^{2}+bx+c=0\,$

de raíces $x_{1};x_{2}\,$ se cumple:

Suma de raíces:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,$

Demostración:

• Partiendo del uso de la fórmula resolvente

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

• Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen al ser opuestas

$x_{1}+x_{2}={\frac {-2b}{2a}}\,$

• Simplificando nos queda

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,$

Producto de raíces:

$x_{1}.x_{2}={\frac {c}{a}}\,$

Demostración:

• Partiendo del uso de la fórmula resolvente

$x_{1}.x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

• Realizando la multiplicación, por medio de binomios conjugados en el numerador

$x_{1}.x_{2}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{(2a)^{2}}}\,$

• Resolviendo las potencias nos queda:

$x_{1}.x_{2}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}\,$

• Distribuyo el menos y sumo en el numerador

$x_{1}.x_{2}={\frac {4ac}{4a^{2}}}\,$

• Simplificando nos queda:

$x_{1}.x_{2}={\frac {c}{a}}\,$

Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces.

$(x_{1}+x_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}=4(x_{1}.x_{2})\,$

Solución mediante cambio de variable

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $ax^{2}+bx+c=0\,$, el cambio de variable necesario es del tipo $x=t+n\,$.

Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación $a(t+n)^{2}+b(t+n)+c=0\,$

y, desarrollándola, queda $at^{2}+(2an+b)t+an^{2}+bn+c=0\,$ (1).

Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^{2}=K\,$ se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos y cuya solución general es del tipo $x=\pm {\sqrt {K}}\,$.

Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemos forzar a que $2an+b=0\,$, es decir $n=-{\frac {b}{2a}}\,$

Sustituyendo en (1) queda $at^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0\,$. (2)

Esta nueva ecuación está en la forma $t^{2}=K\,$ que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que, como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo $t=\pm {\sqrt {K}}\,$

Por tanto, despejando la variable $t\,$ en la ecuación (2), queda $t=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

Dado que $x=t+n\,$, y que $n=-{\frac {b}{2a}}\,$, obtenemos la solución de la ecuación original con variable en $x\,$, que es

$x=-{\frac {b}{2a}}\ \pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

El "truco" de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Véase también

• Ecuación
• Sistema de ecuaciones
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado
• Ecuaciones con radicales
• Función cuadrática

Enlaces externos

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática.
• La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es