Distribución conjunta

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En probabilidad, dados dos eventos aleatorios X e Y, la distribución conjunta de X e Y es la distribución de probabilidad de la intersección de eventos de X e Y, esto es, de los eventos X e Y ocurriendo de forma simultánea. En el caso de solo dos variables aleatorias se denomina una distribución bivariada, pero el concepto se generaliza a cualquier número de eventos o variables aleatorias.

Caso discreto[editar]

Para variables aleatorias discretas, la función de probabilidad conjunta está dada por:


\begin{align}
\mathrm{P}(X=x\ \mathrm{y}\ Y=y) & {} = \mathrm{P}(Y=y \mid X=x) \cdot \mathrm{P}(X=x) \\
& {} = \mathrm{P}(X=x \mid Y=y) \cdot \mathrm{P}(Y=y).
\end{align}

Dadas esas probabilidades, se tiene que:

\sum_x \sum_y \mathrm{P}(X=x\ \mathrm{y}\ Y=y) = 1.\;

Caso continuo[editar]

De forma similar que para las variables aleatorias discretas, la función de densidad de probabilidad conjunta puede ser escrita como fX,Y(xy) teniendo:

f_{X,Y}(x,y) <= f_{Y|X}(y|x)f_X(x) = f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)\;

Donde fY|X(y|x) y fX|Y(x|y) dan la Probabilidad condicionada de Y dado X = x y de X dado Y = y respectivamente, y fX(x) y fY(y) dada la distribución marginal para X y Y respectivamente.

De nuevo, dado que son distribuciones de probabilidad:

\int_x \int_y f_{X,Y}(x,y) \; dy \; dx= 1.

Véase también[editar]

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