Discusión:Teoremas de incompletitud de Gödel
Estoy traduciendo el artículo en inglés para sustituir el texto actual. Tardaré unos días en acabar, ya que es un texto largo. Si esto le causa problemas a alguien, que me avise :) --Lightst 12:36 21 nov, 2004 (CET)
Por cierto, he mantenido la traducción de incompleteness como incompletud, tal y como estaba en el artículo original. Lamentablemente, ninguno de los dos términos más usados en la literatura para expresar este concepto (incompletud y incompletitud) son aceptados por el diccionario de la real academia. Haciendo una búsqueda en Google, el término incompletitud apareció unas 39000 veces frente a las 3200 que apareció incompletud. No sé cual es realmente la voz más apropiada. --Lightst 13:32 21 nov, 2004 (CET)
Actualización: ya actualicé el artículo con la traducción. Tiene algunas aristas por pulir todavía pero es un comienzo. Se solicitan revisiones y correcciones al texto. --Lightst 20:37 21 nov, 2004 (CET)
- No entiendo mucho de estas cosas, así que me centro en el título: "incompletud" me suena raro. Veo que ninguna de las dos está en la Real Academia online, pero "completitud" sí aparece como:
1. f. Cualidad de completo.
- "Completud" remite a "completitud" y, en consecuencia, "incompletud" debe de ser correcta. Como parece que se trata de una cuestión de gustos, lo podemos votar o dejar al arbitrio de Lightst. A mi me gusta más Teorema de incompletitud de Gödel y, siguiendo el criterio de la RAE, que esta página redireccione a aquella --Alfanje 08:11 17 dic, 2004 (CET)
- Creo que lo voy a hacer. Después de todo, en la RAE "completud" es una redirección ;) Sabbut (comments) 09:45 23 dic 2005 (CET)
Texto introducido en el artículo[editar]
El siguiente texto fue introducido en el artículo sin voluntad de fundirlo con el texto existente. Lo copio aquí por si alguien se anima a aprovechar algo. --Ascánder 03:44 18 jun, 2005 (CEST)
Desde los tiempos de Euclides, hace aproximadamente dos mil trescientos años, los matemáticos han intentado partir de ciertos enunciados llamados axiomas y deducir luego de ellos toda clase de conclusiones útiles.
En ciertos aspectos es casi como un juego, con dos reglas. En primer lugar, los axiomas tienen que ser los menos posibles. En segundo lugar, los axiomas tienen que ser consistentes, es decir, tiene que ser imposible deducir dos conclusiones que se contradigan mutuamente.
Cualquier libro de geometría comienza con un conjunto de axiomas: Por dos puntos cualesquiera sólo se puede trazar una recta. El total es igual a la suma de las partes; etc. Durante mucho tiempo se supuso que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían constituir una geometría consistente y que por eso eran “verdaderos”.
Pero en el siglo XIX se demostró que modificando de cierta manera los axiomas de Euclides, se podían construir geometrías diferentes, “no euclidianas”. Cada una de estas geometrías difería de las otras, pero todas ellas eran consistentes. A partir de entonces no tenía ya sentido preguntar cuál de ellas era la “verdadera”. En lugar de ello, había que preguntar cuál era [más]útil.
De hecho, son muchos los conjuntos de axiomas a partir de los cuales se podría construir un sistema matemático consistente: todos ellos distintos y todos ellos consistentes.
En ninguno de estos sistemas matemáticos tendría que ser posible deducir, a partir de sus axiomas, que algo es a la vez “así” y “no así”, porque entonces las Matemáticas no serían consistentes, habría que desecharlas [por lo menos no tendrían la fama de precisión que tienen] ¿Pero qué ocurre sí establecemos un enunciado y comprobamos que no podemos demostrar que ni es “así” ni “no así"?.
Supongamos que digo: “el enunciado que estoy haciendo es falso”.
¿Es falso? Sí es falso, entonces es falso que estoy diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero sí estoy diciendo algo verdadero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería verdad que estoy diciendo algo falso. Podría estar yendo [así]de un lado para otro indefinidamente. Es imposible demostrar que lo que he dicho es o no es así.
Supongamos que ajustamos los axiomas de la lógica a fin de eliminar la posibilidad de hacer enunciados de este tipo. ¿Podríamos encontrar otro modo de hacer enunciados del tipo “ni así ni no así”?.
En 1931, el físico y matemático austríaco Kurt Gödel presentó una demostración válida de que, para cualquier conjunto de axiomas, siempre es posible hacer enunciados que, a partir de esos axiomas, no puede demostrarse ni que son así ni que no son así. En ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático “completo”.
¿Quiere decir esto que nunca podremos encontrar la “verdad? ¡Ni hablar!
Primero: el que un sistema matemático no sea completo no quiere decir que lo que contiene sea falso. El sistema puede seguir siendo muy útil, siempre que no intentemos utilizarlo más allá de sus límites.
Segundo: el Teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas deductivos del tipo que se utiliza en Matemáticas. Pero la deducción no es el único modo de descubrir la “verdad”. No hay axiomas que nos permitan deducir las dimensiones del Sistema Solar. Estas últimas fueron obtenidas mediante observaciones y medidas, otro camino hacia la “verdad”.
Me parece más preciso utilizar el término "incompletititud", en contraposición de "completitud".
Me parece más preciso utilizar el término "incompletititud", en contraposición de "completitud". El hecho que un sistema axiomático no sea "completo" quiere decir que dentro de su ámbito de trabajo existiran proposiciones verdaderas para las cuáles es imposible demostrar la veracidad. Una solución a ésto es agregar estas proposiciones como axiomas dentro del sistema, pero obviamente esto genera un círculo vicioso.
Es evidente que está incorrecto porque la subyugación progresiva va en proporción a la incógnita.
UNA DUDA
Todo lo que he leído sobre los teoremas de Gödel ha sido en textos divulgativos no especializados, así que no sé mucho sobre el tema.
Todos los ejemplos que he leído sobre teoremas no demostrables se refieren a teoremas que hacen afirmaciones referentes al lenguaje o a la lógica. O sea, teoremas expresados en un metalenguaje.
¿Existe algún ejemplo que no sea de este tipo? ¿Cuáles son?
---los sistemas formales---
Compañero, el Teorema de Incompletitud sólo se aploca sistemas axiomáticos no-triviales, o sea, lo suficientemente fuertes como para formalizar la aritmética. Se aplica, por extensión, a los sistemas formales que sean complejos, con más añadidos al cálculo de primer orden, que es un lenguaje formal de la lógica relativamente sencillo, pero completo ( Gödel dió la prueba ). El Teorema de Gödel, como cualquier teorema, es pura sintaxis : signos que se combinan segun reglas precisas. Pero este Teorema es un Meta-teorema, o sea, un teorema sobre formalismos. Por ello, sólo se aplica a lenguajes formales, y sólo a ellos. En la medida que una ciencia determinada use signos formales, tal vez exista la posibilidad de hacer coextensivo el teorema a ese dominio, como argumenta, por ejemplo, el matemático Roger Penrose respecto de la Inteligencia Artificial y la implementación algorítmica. Pero estos vínculos son dudosos, justamente, porque no son pruebas formales, y no hay que mezclar a las matemáticas con otros ámbitos mas difusos. Así pues, el teorema de Godel se aplica a cálculos lógicos, sintaxis de las matemáticas.--Panini (discusión) 16:05 17 jul 2008 (UTC)
Título del artículo[editar]
Me parece raro que el título sea "Teoremas de la incompletitud de Godel", y no "Teoremas de incompletitud de Godel". Como está escrito, parece que el que está incompleto es Godel, y no la matemática. Si no recibo respuestas, en unos días lo cambio. Saludos. --LFS (discusión) 21:21 5 jul 2009 (UTC)
- Tienes mucha razón, Luis. Haré inmediatamente el traslado. Saludos. Farisori » 13:35 6 jul 2009 (UTC)
Teoría de la mente[editar]
«Roger Penrose afirma que esta (presunta) diferencia entre lo que se puede probar mecánicamente y lo que los humanos pueden ver como cierto muestra que la inteligencia humana no es mecánica en su naturaleza. También JR Lucas ha atendido esta reivindicación en Mentes, Máquinas y Gödel (en inglés).»
En la sección Discusión e implicaciones, tal y como está redactado (he copiado el texto encima), se da a entender que Penrose fue el primero en proponer los teoremas de incompletitud para rechazar el mecanicismo de la mente, y que JR Lucas se ha sumado al carro. Sin embargo, dudo que haya ocurrido así, puesto que el artículo que se cita de Lucas está fechado en 1961, cuando Penrose estaba recien doctorado e implicado en importantes proyectos sobre física. No ha sido hasta los últimos años cuando se ha interesado por la teoría de la mente, por lo que no creo que fuese el precursor de esta idea. Insisto en que es una información que desconozco (y por ello no lo modifico ya), pero la lógica me invita a pensar que la idea original es de Lucas y no de Roger Penrose.
El artículo de JR Lucas no puede ser más claro, cito la frase con la que comienza (repito, en 1961): «En mi opinión, el teorea de Gödel demuestra la falsedad del Mecanicismo, o sea, que las mentes no pueden ser descritas como máquinas.» --Ender Muab'Dib (discusión) 17:14 4 ago 2009 (UTC)
Un artículo para cada teorema[editar]
Hola. Pregunto si no será mejor dividir el artículo en dos artículos, uno para cada teorema. Se que ambos están muy ligados, pero que haya un artículo para los dos parece un poco irregular. Por otra parte, en la Wikipedia en inglés tienen un artículo para cada uno. Un saludo. --LFS (discusión) 14:20 14 oct 2009 (UTC)
- Me parece muy bien. Adelante ;) Farisori » 16:42 15 oct 2009 (UTC)
Sentido confuso en este parrafo. Por favor revisar.[editar]
(del primer parrafo == Significado de los teoremas de Gödel ==)
Aunque pueda sonar extraño el uso de un número infinito de axiomas, esto es precisamente lo que se hace habitualmente con los números naturales, los axiomas de Peano.
En este parrafo falta o sobra algo. Así como está redactado no tiene sentido como unidad. Si tener idea de lo que se trata pudo decir que "los axiomas de Peano" debe abandonar al parrafo o necesita incorporar más desarrollo
Algoritmo de Kruskal[editar]
Creo que encontré un error o posible acto de bandalismo. El algoritmo de Kruskal no es una afirmación que se pueda decir si es decidible o indecidible, sino un algoritmo. Aunque no se si el artículo se refiera a que la prueba de que la validez del algoritmo es indecidible con Peano. Los grafos se pueden construir con números naturales, y la prueba de que esto funciona también. Si hay un malentendido por favor alguien indíquelo, si no hay malentendido lo borro. --Lobishomen (discusión) 06:27 13 ene 2010 (UTC)
Otra visión[editar]
He encontrado otra vision interesante en http://heliospazos.com/[1], donde se presentan varios ensayos al respecto:
DETERMINISMO Y CAUSALIDAD
INDECIDIBILIDAD EN LENGUAJE NATURAL - DE EPIMENIDES A GÖDEL
Inexactitud en los enunciados de los teoremas[editar]
Ni en la versión de las Obras Completas de Kurt Gödel editadas por Jesús Mosterín para Alianza, ni en la de Manuel Garrido para el monográfico de KRK ediciones sobre este conjunto de proposiciones y teoremas aparecen estas versiones "simplificadas" de los teoremas, si provienen de alguna fuente convendría que se incluyera claramente.
Creo que convendría que cualquiera de los enunciados precisos que publicó Gödel en 1930 y 1931 se pudieran leer en el artículo ya que ahora, al menos a mí, resulta algo desconcertante que en un artículo sobre unos teoremas de máxima importancia entre los del siglo XX no se incluya su enunciado preciso. Aparentemente lo que se dice en el artículo proviene de la versión inglesa ¿pero y aquella?
En fin es mi opinión, no toco nada en el artículo por no interferir pero sí quería ponerlo en la palestra. En la red no encuentro traducción al español, pero la demostración de Gödel está traducida al inglés (y a un lenguaje matemático más universal que el original) aquí: http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf . Ver teorema VI que es el que el propio Gödel identificaba con la incompletud, indecibilidad o indemostrabilidad.
Ahí está el teorema y en su versión modernizada o en su sencillo pero más difícil de aprehender enunciado original bien merecerían estar en la wikipedia en español. --José Antonio Redondo (discusión) 22:38 27 sep 2010 (UTC)
Enlaces rotos[editar]
Elvisor (discusión) 21:20 25 nov 2015 (UTC)
Creo que está incorrecto la definicion de Cad x donde dice: "Es sencillo entender ahora cómo deben definirse algunas"[editar]
Ya que Cad X, en la descripcion debería empezar con 77 Y Succ debería empezar con 88.
Enlaces externos modificados[editar]
Hola,
Acabo de modificar 1 enlaces externos en Teoremas de incompletitud de Gödel. Por favor tomaos un momento para revisar mi edición. Si tenéis alguna pregunta o necesitáis que el bot ignore los enlaces o toda la página en su conjunto, por favor visitad esta simple guía para ver información adicional. He realizado los siguientes cambios:
- Se añadió el archivo https://web.archive.org/web/20070611203750/http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Gaceta/historia93b.pdf a http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Gaceta/historia93b.pdf
Por favor acudid a la guía anteriormente enlazada para más información sobre cómo corregir los errores que el bot pueda cometer.
Saludos.—InternetArchiveBot (Reportar un error) 03:27 28 jul 2019 (UTC)