Desigualdad triangular

Desigualdad del triángulo.

La desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski es un teorema de geometría euclidiana que establece:

En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante. ​

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

$a<(b+c),\qquad b<(a+c),\qquad c<(a+b)$

donde a, b y c son los lados.

Espacios vectoriales normados

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

En todo espacio vectorial normado $V,\forall x,y\in V,\ \ \left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$

Es decir, que La norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual a la suma de las normas de los dos vectores.

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

Para cualquiera dos números a y b se cumple: $|a+b|\leq |a|+|b|$

cuya demostración es:

Demostración

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

$-|a|\leq a\leq |a|$

$-|b|\leq b\leq |b|$

Sumando ambas inecuaciones:

$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $|a|\leq b$ si y solo si $-b\leq a\leq b$ en la línea de arriba queda:

$|a+b|\leq |a|+|b|$

Generalización de la desigualdad triangular

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

$|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|$,

es decir:

$\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.$

donde n es un número natural, y los $x_{i}$ son números reales.

Demostración

La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática. Como casos iniciales observamos que para n=1: $|x_{1}|\leq |x_{1}|$ puesto que el símbolo $\leq$ es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica $|x_{1}+x_{2}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|$ Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.$ Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1. Partimos de la siguiente expresión: $\left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|=\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|$ y observando que $\sum _{i=1}^{k}x_{i}$ es un número real y $x_{k+1}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos: $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|+|x_{k+1}|$ Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.$ la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|.$ Sin embargo, esta última expresión es precisamente $\sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.$ de manera que hemos demostrado $\left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.$ y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Esta desigualdad puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

$\left|\int _{A}f(x){\text{d}}\mu (x)\right|\leq \int _{A}|f(x)|{\text{d}}\mu (x)$

así como también para espacios L^p. Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de L^p(S). Entonces f + g es de L^p(S), y se tiene

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

para todos los números reales (o complejos) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Bibliografía

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4