Cuantificador

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En lógica formal, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

Para todo x, y...
Existe al menos un x, y...
Existe exactamente un x, y...
  • Negación del cuantificador existencial
No existe ningún x, y...

Declaraciones cuantificadas[editar]

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones[editar]

Cuantificación universal[editar]

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

Cuantificación existencial[editar]

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

Cuantificación existencial única[editar]

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

Se lee:

Existe un único elemento x de A, que cumple P(x).

Equivalencias[editar]

Se tienen las siguientes relaciones universales:

Para todo x de A, se cumple P(x) si y sólo si no existe x en A que no cumpla P(x).
Existe al menos un x en A que cumple P(x) si y sólo si no es cierto que para todo x de A, no se cumpla P(x).

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:

Existe un único x en A que cumple P(x), si y sólo si para todo x, y de A, si se cumple que P(x) y P(y), entonces x es igual a y.

Véase también[editar]