Límite de una sucesión

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En análisis matemático, el concepto de convergencia hace referencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite. Este concepto es bien general y dependiendo de la naturaleza del conjunto donde se encuentre definida la sucesión, puede adoptar varias formas.

Definición

Una sucesión de elementos $\{x_{n}\}\,$ de un espacio métrico $(M,d\,)$ converge a un elemento $x\in M$ si para todo número $\varepsilon >0,$ existe un entero positivo $N\,$ (que depende de $\varepsilon$) tal que

(1)$n\geq N\quad \Longrightarrow \quad d(x_{n},x)<\varepsilon .$

En tal caso, se acostumbra escribir

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$

o también

$x_{n}\ {\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ x\quad {\mbox{cuando}}\quad n\to \infty$

o simplemente

$x_{n}\to x.$

Intuitivamente, esto significa que los elementos $x_{n}\,$ de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a $x\,$ si $n\,$ es suficientemente grande, ya que $d(x_{n},x\,)$ determina la distancia entre $x_{n}\,$ y $x\,$. A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.

La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado $(E,\Vert \cdot \Vert ),$ la norma $\Vert \cdot \Vert$ induce la métrica $d(x,y):=\Vert y-x\Vert$ para cada $x,y\in E$; en el caso de un espacio con producto interno $(E,\langle \cdot ,\cdot \rangle ),$ el producto interno $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ induce la norma $\Vert x\Vert ={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ para cada $x\in E.$

Ejemplos

• Sucesiones en $\mathbb {R}$ ó $\mathbb {C}$

El conjunto de los números reales $\mathbb {R}$ al igual que el conjunto de los números complejos $\mathbb {C}$ se constituyen en un espacio métrico por medio del valor absoluto: para cada par de elementos $x,\,y$ en $\mathbb {R}$ ó $\mathbb {C}$, la función $d(x,y):=\vert y-x\vert$ determina una métrica.

Por tanto, de acuerdo a (1), una sucesión $\{x_{n}\}\,$ en $M=\mathbb {R}$ converge a un $x\in \mathbb {R}$ si para todo $\varepsilon >0$, existe un entero $N\,$ tal que

$n\geq N\quad \Longrightarrow \quad |x_{n}-x|<\varepsilon .$

Como ejemplos podemos considerar:

• La sucesión constante definida por $x_{n}:=c\,$ para todo $n\,$, donde $c\in \mathbb {R}$. Esta sucesión converge a $c\,$ pues

$|x_{n}-c|=|c-c|=0<\varepsilon$

para todo $n.\,$

• La sucesión $x_{n}:=1/n.\,$ Esta sucesión converge a cero, pues por la propiedad arquimediana de los números reales, para cada $\varepsilon >0$, exite número natural $N\,$ tal que $N\varepsilon >1$ y por tanto, si $n>N,\,$ $1/n<1/N\,$ y

$|x_{n}-0|=|x_{n}|=1/n<1/N<\varepsilon .$

• La sucesión del ejemplo anterior es un caso particular de un resultado más general. Dado $p>0,\,$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0\,,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=1\,,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$

• Si $|a|<1,\,$ entonces $a^{n}\to 0.$

• La sucesión $z_{n}:=e^{i\pi n}\,$. Esta sucesión no converge, sus valores oscilantes son $-1,1,-1,1,\ldots$

• Debido a que $\mathbb {C}$ (en particular $\mathbb {R}$) está dotado de una operación suma (lo que no ocurre en todo espacio métrico), a cada sucesión $\{a_{n}\}\,$ en $\mathbb {C}$ (en particular $\mathbb {R}$) es posible asociarle la sucesión de sumas parciales

(2)$s_{n}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\,.$

La sucesión $\{s_{n}\}\,$ se expresa simbólicamente como

(3)$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\,$

y se le denomina serie infinita. En el caso en que la sucesión de sumas parciales (2) converja, $s_{n}\to s$, se dice que (3) es una serie convergente y se escribe

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=s.\,$

En caso contrario se dice que (3) es una serie divergente. Ejemplos clásicos de series convergentes y divergentes son

$\sum _{n=1}^{\infty }a^{n}={\frac {a}{1-a}},(|a|<1)\ ,\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty$

Observemos que la definición de convergencia nos dice que una sucesión $\{x_{n}\,\}$ en un espacio métrico $M\,$ converge a un $x\in M\,$ si la sucesión de números reales $a_{n}:=d(x_{n},x\,)$ converge a cero en $\mathbb {R}$, i.e.,

$x_{n}\to x\ \ {\mbox{en}}\ M\quad \Longleftrightarrow \quad d(x_{n},x)\to 0\ \ {\mbox{en}}\ \mathbb {R}$

• Sucesiones en $\mathbb {R} ^{n}$

• Sucesiones en el espacio $\ell ^{p}$

• Sucesiones en el espacio $L^{2}({\mathbb {R} }^{n})$

• Sucesiones en el espacio de las funciones continuas $C[a,b]\,$

Sucesiones de Cauchy

Para determinar la convergencia de una sucesión a partir de la definición es necesario conocer de antemano el elemento hacia el cual ésta converge. Dicha información por lo general se desconoce. Para una gran variedad de espacios, existe un criterio para determinar la convergencia de una sucesión sin conocer su límite.

Una sucesión $\{x_{n}\}\,$ en un espacio métrico $M\,$ es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon >0$, existe un entero positivo $N\,$ (que depende de $\varepsilon$) tal que

(4)$m,n>N\Longrightarrow d(x_{n},x_{m})<\varepsilon .$

Intuitivamente, esto signfica que la distancia entre los elementos $x_{n}\,$ y $x_{m}\,$ de la sucesión se hace arbritrariamente pequeña si $n\,$ y $m\,$ son lo suficientemente grandes.

Si $\{x_{n}\}\,$ es una sucesión convergente, existe un $x\in M$ tal que $x_{n}\to x\,$ y por la desigualdad triangular,

$d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x)+d(x,x_{m})\to 0.$

Por lo tanto, toda sucesión convergente es de Cauchy. Sin embargo, el enunciado recíproco no siempre es válido y no toda sucesión de Cauchy es convergente: la sucesión de números racionales $\{1,{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {17}{12}},\ldots \}\,$ definida por $x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {2}{x_{n}}}}{2}}$ para $n\geq 2$ con $x_{1}=1\,$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb {Q}$ que no es convergente, pues su límite es el número irracional ${\sqrt {2}}.$

Un espacio métrico en el que toda sucesión de Cauchy es convergente se denomina completo. Los racionales son un ejemplo de un espacio que no es completo mientras que $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$ constituyen ejemplos de espacios métricos completos. Por consiguiente, una condición suficiente y necesaria para que una sucesión $\{x_{n}\}\,$ de números reales (o complejos) converja, viene dada por (4), con $d(x_{n},x_{m})=\vert x_{m}-x_{n}\vert .$ En particular, cuando la condición se aplica a la sucesión de sumas parciales (2),

$d(s_{n},s_{m})=\left\vert s_{n}-s_{m}\right\vert =\left\vert \sum _{k=m}^{n}a_{k}\right\vert$

y se obtiene el criterio de convergencia de Cauchy: una serie $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ es convergente si, y sólo si, para todo $\varepsilon >0,$ existe un entero $N\,$ tal que

$n,m>N\quad \Longrightarrow \quad \left\vert \sum _{k=m}^{n}a_{k}\right\vert <\varepsilon .$

A los espacios vectoriales normados y completos se les denominan espacios de Banach en honor al trabajo desarrollado por el matemático polaco Stefan Banach. Estos espacios constituyen uno de los objetos centrales de estudio del análisis funcional. Ejemplos de espacios de Banach comunes son $\mathbb {R} ^{n},\,$ $\mathbb {C} ^{n},\,$ el espacio $L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),\,$ el espacio ${\mathcal {L}}(E,F)$ de los operadores lineales continuos de un espacio vectorial $E\,$ en un espacio vectorial $F\,$ y el espacio de la funciones continuas con valores complejos $C(K)\,$ con $K\subset \mathbb {R} ^{n}\,$ compacto.

Los espacios de Banach cuya norma proviene de un producto interno se denominan espacios de Hilbert, en reconocimiento al trabajo desarrollado por el matemático alemán David Hilbert a comienzos del siglo XX. Ejemplos de espacios de Hilbert son $\mathbb {K} ^{n}\,$ con $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ó $\mathbb {K} =\mathbb {C} ,$ el espacio de las sucesiones complejas cuadrado-sumables $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$ y el espacio de las funciones cuadrado-integrables en el sentido de Lebesgue $L^{2}(\mathbb {R} ^{n}).$ Una gran variedad de espacios de Hilbert que se presentan en la práctica son separables y son en particular los espacios $\mathbb {K} ^{n}$ y $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$ los prototipos principales de espacios de Hilbert, pues todo espacio de Hilbert separable de dimensión finita $n\,$ es isomorfo a $\mathbb {K} ^{n}$ mientras que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a $\ell ^{2}(\mathbb {K} )$.

Tipos de convergencia

Los varios tipos de convergencia se obtiene principalmente por hacer modificaciones menores en la definición básica. He aquí los tipos de convergencia más comunes: (Las diferencias entre sus definiciones y la definición básica se marca en cursiva.)

Convergencia puntual

El concepto de convergencia puntual es uno de los varios sentidos en los cuales una sucesión de funciones puede converger a una función particular.

Una sucesión de funciones $f_{n}:S\to M$ definidas en un conjunto no vacío $S\,$ con valores en un espacio métrico $(M,d\,)$ converge puntualmente a una función $f:S\to M$ si

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$

para cada $x\in S$ fijo. Esto significa que

(5)$\forall x\in S\quad \forall \varepsilon >0\quad \exists \,N\in \mathbb {N} \quad |\quad n\geq N\ \Longrightarrow \ d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon .$

La sucesión de funciones $f_{n}(x):=x/n\,$ con $x\in [0,1]$ converge puntualmente a la función $f(x):=0\,$ puesto que

$\left\vert {\frac {x}{n}}\right\vert \leq {\frac {1}{n}}\to 0$

para cada $x\in [0,1]$ fijo.

Convergencia uniforme

Una sucesión de funciones $f_{n}:S\to M$ definidas en un conjunto no vacío $S\,$ con valores en un espacio métrico $(M,d\,)$ converge uniformemente a una función $f:S\to M$ si para todo $\varepsilon >0$ existe un entero $N\,$ (que depende de $\varepsilon$) tal que

$d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon$

para todo $x\in S$ y todo $n\geq N$. Es decir,

(6)$\forall \varepsilon >0\quad \exists \,N\in \mathbb {N} \quad |\quad d(f_{n}(x),f(x))<\varepsilon \quad \forall x\in S\quad \forall n\geq N.$

El concepto de convergencia uniforme es un concepto más fuerte que el de convergencia puntual. En (5), $N\,$ puede depender de $\varepsilon$ y de $x\,$ mientras que en (6), $N\,$ sólo puede depender de $\varepsilon$. Así, toda sucesión que converge uniformemente, converge puntualmente. El enunciado recíproco es falso, y un contraejemplo clásico lo constituyen las sucesión de funciones $f_{n}:[0,1]\to \mathbb {R}$ definidas por $f_{n}(x)=x^{n}\,$. Esta sucesión converge puntualmente a la función

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si}}\quad 0\leq x<1\\1,&{\mbox{si}}\quad x=1\end{cases}}$

ya que

$|f_{n}(x)-f(x)|=|x^{n}|\to 0\quad {\mbox{si}}\quad 0\leq x<1$

mientras que $\vert f_{n}(1)-f(1)\vert =0.$ Sin embargo esta sucesión no converge uniformemente, pues para $\varepsilon =1/4,$ no existe un $N\,$ que satisfaga (5).

De especial interés es el espacio de las funciones continuas $C(\Omega )\,$ definidas sobre un compacto $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}.$ En este caso, una sucesión de funciones $f_{n}\in C(\Omega ),\,$ converge uniformemente a una función $f\in C(\Omega ),\,$ si, y sólo si, converge en la norma del sup, i.e.,

$f_{n}{\stackrel {u}{\longrightarrow }}\ f\quad \Longleftrightarrow \quad f_{n}{\stackrel {\Vert \cdot \Vert }{\longrightarrow }}\ f$

Convergencia débil

Una sucesion se dice que converge debilmente a x o en sentido debil si para toda funcional lineal f, f(Xn) converge a x.

Por ejemplo la serie 1/n desde n=1 hasta infinito converge débilmente a cero. Pues: lim f(1/n) = lim n/n*f(1/n) = lim 1/n*f(n/n) = lim 1/n*f(1) = 0 Todo esto, pues f es lineal.