Diferencia entre revisiones de «Bisectriz»
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Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el [[incentro]] del triángulo y es el centro de la '''circunferencia inscrita''' al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo. |
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el [[incentro]] del triángulo y es el centro de la '''circunferencia inscrita''' al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo. HECHO POR JUAN Y MIGUEL (EL TRABAJO) |
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Revisión del 15:01 6 nov 2009
La bisectriz es la recta que divide al ángulo en dos partes iguales.
Propiedad
Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados (rectas) del ángulo. Recíprocamente, dos rectas, al cruzarse, determinan cuatro ángulos y cada uno de ellos define una bisectriz. Estas bisectrices resultan ser el lugar geométrico de los puntos equidistantes.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Bisection_construction.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Bisectriz_interior-exterior.png)
En la figura, la bisectriz interior al ángulo xOy (en amarillo) es (zz'), y la exterior es (ww'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamemos a la medida de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la medida del ángulo xOx' , que es plano. Dividimos por 2: zOw mide a + b = 90º.
Aplicación
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo. HECHO POR JUAN Y MIGUEL (EL TRABAJO)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Bisectrices.png)
Demostración: Dos bisectrices del triángulo no pueden ser paralelas. Sea O la intersección de las bisectrices D y D' (ver figura). Como O pertenece a D, es equidistante de las rectas (AB) y (AC). Como O pertenece a D', entonces también equidista de las rectas (AB) y (BC). Por transitividad de la igualdad, es equidistante de (AC) y (BC), y pertenece a la bisectriz (interior) del ángulo C, es decir a D". Al ser equidistante a los tres lados. Se sigue que la circunferencia cuyo radio sea justamente la distancia común del punto O a los lados del triángulo es tangente a cada uno de los lados.
Otras propiedades
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Circbisec.svg/400px-Circbisec.svg.png)
Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MN, del lado BC corta el arco BMC en su punto medio. Como el ángulo inscrito BAC subtiende dicho arco, los ángulos BAM y MAC son iguales y la recta AM resulta ser la bisectriz del ángulo BAC. Las rectas AN y AM son ortogonales, porque el lado MN del triángulo AMN es diámetro de la circunferencia y el vértice A se halla sobre dicha circunferencia. La recta AN es bisectriz del ángulo exterior al triángulo ABC en el vértice A. Por lo anteriormente expuesto, se puede decir: La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita
Este hecho se usa en la discusión de la circunferencia de los nueve puntos