Tetraedro trirrectangular
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/2D-simplex.svg/220px-2D-simplex.svg.png)
* x>0
* y>0
* z>0
* x/a+y/b+z/c<1
En geometría, un tetraedro trirrectangular (o también tetraedro trirrectángulo) es un tetraedro donde los tres ángulos de las caras que convergen en un vértice son ángulos rectos. Este vértice se llama ángulo recto del tetraedro trirrectangular y la cara opuesta se llama base. Las tres aristas que se encuentran en el ángulo recto se denominan "catetos" y la perpendicular desde el ángulo recto a la base se denomina "altura" del tetraedro.
Solo el grafo bifurcado del grupo afín de Coxeter se corresponde con el dominio fundamental del tetraedro trirrectangular.
Fórmulas métricas
[editar]Si los catetos tienen longitudes a, b, c, entonces el tetraedro trirrectangular tiene el volumen
La altura h satisface que:[1]
El área de la base está dada por[2]
Teorema de De Gua
[editar]Si el área de la base es y las áreas de las otras tres caras (en ángulo recto) son , y , entonces:
Esta es una generalización del teorema de Pitágoras a un tetraedro.
Solución entera
[editar]Cuerpo perfecto
[editar]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Smallest_perfect_trirectangular_biparamyd%2C_Jan_2018.svg/220px-Smallest_perfect_trirectangular_biparamyd%2C_Jan_2018.svg.png)
El área de la base (a,b,c) es siempre (Gua) un número irracional. Así, un tetraedro trirrectangular con aristas enteras nunca es un cuerpo perfecto. La bipirámide trirrectangular (6 caras, 9 aristas, 5 vértices) construida a partir de estos tetraedros trirrectangulares (o de las formas giradas a la izquierda relacionadas) conectados en sus bases tienen aristas, caras y volumen racionales, pero la distancia diagonal interior entre los dos vértices trirrectangulares sigue siendo irracional. Esta última es el doble de la "altura" del tetraedro trirrectangular y una parte racional de la distancia diagonal irracional del "ladrillo de Euler" relacionado (bc, ca, ab).[3]
Aristas enteras
[editar]Existen tetraedros trirrectangulares con catetos enteros y lados del triángulo base, como por ejemplo (descubierto en 1719 por Halcke). Aquí hay algunos ejemplos más con catetos y lados enteros:
a b c d e f
240 117 44 125 244 267 275 252 240 348 365 373 480 234 88 250 488 534 550 504 480 696 730 746 693 480 140 500 707 843 720 351 132 375 732 801 720 132 85 157 725 732 792 231 160 281 808 825 825 756 720 1044 1095 1119 960 468 176 500 976 1068 1100 1008 960 1392 1460 1492 1155 1100 1008 1492 1533 1595 1200 585 220 625 1220 1335 1375 1260 1200 1740 1825 1865 1386 960 280 1000 1414 1686 1440 702 264 750 1464 1602 1440 264 170 314 1450 1464
Téngase en cuenta que algunos de estos ejemplos son múltiplos de otros más pequeños. La sucesión (sucesión A031173 en OEIS) recoge estos valores.
Caras enteras
[editar]Existen tetraedros trirrectangulares con caras enteras y altura h, como por ejemplo: sin o , con coprimos entre sí.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]Enlaces externos
[editar]- Weisstein, Eric W. «Trirectangular tetrahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.