Ladrillo de Euler

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda
Ladrillo de Euler con aristas a, b, c y diagonales de cara d, e, f; todas ellas con valores enteros

En matemáticas, un ladrillo de Euler, nombrado así en recuerdo de Leonhard Euler, es un ortoedro cuyas aristas y diagonales de cara tienen longitudes enteras. Un ladrillo de Euler primitivo es aquel cuyas longitudes de arista son números primos entre sí.

Definición[editar]

La definición de un ladrillo de Euler en términos geométricos es equivalente a una solución para el siguiente sistema de ecuaciones diofánticas:

donde a, b, c son las aristas y d, e, f son las diagonales.

Propiedades[editar]

  • Si (a, b, c) es una solución, entonces (ka, kb, kc) también es una solución para cualquier k. En consecuencia, las soluciones en números racionales son todas versiones de soluciones enteras. Dado un ladrillo de Euler con longitudes de arista (a, b, c), la terna (bc, ac, ab) también constituye un ladrillo de Euler.[1]:p. 106
  • Al menos dos bordes de un ladrillo de Euler son divisibles por 3.[1]:p. 106
  • Al menos dos bordes de un ladrillo de Euler son divisibles por 4.[1]:p. 106
  • Al menos un borde de un ladrillo de Euler es divisible por 11.[1]:p. 106

Ejemplos[editar]

Los cinco ladrillos de Euler primitivos con dimensiones por debajo de 1000

El ladrillo de Euler más pequeño, descubierto por Paul Halcke en 1719, tiene los bordes (a, b, c) = (44, 117, 240) y las diagonales de cara (d, e, f ) = (125, 244, 267).

Algunas otras soluciones primitivas pequeñas, dadas según sus aristas (a, b, c) y sus diagonales de cara (d, e, f), figuran a continuación:

( 85, 132, 720 ) — ( 157, 725, 732 )
( 140, 480, 693 ) — ( 500, 707, 843 )
( 160, 231, 792 ) — ( 281, 808, 825 )
( 187, 1020, 1584 ) — ( 1037, 1595, 1884 )
( 195, 748, 6336 ) — ( 773, 6339, 6380 )
( 240, 252, 275 ) — ( 348, 365, 373 )
( 429, 880, 2340 ) — ( 979, 2379, 2500 )
( 495, 4888, 8160 ) — ( 4913, 8175, 9512 )
( 528, 5796, 6325 ) — ( 5820, 6347, 8579 )

Fórmula generadora[editar]

Euler encontró al menos dos ecuaciones paramétricas para el problema, pero ninguna da todas las soluciones.[2]

Se puede generar una infinidad de bloques de Euler con la ecuación paramétrica de Sounderson.[3]​ Sean (u, v, w) una terna pitagórica (es decir, u2 + v2 = w2). Entonces[1]:105 las aristas

dan las diagonales de cara

Hay muchos ladrillos de Euler que no están parametrizados como los anteriores, por ejemplo, el ladrillo de Euler con los bordes (a, b, c) = (240, 252, 275) y las diagonales de cara (d, e, f ) = (348, 365, 373).

Cuboide perfecto[editar]

Un "cuboide perfecto" (también llamado "ladrillo perfecto de Euler" o "caja perfecta") además posee una diagonal espacial que también tiene una longitud entera. En otras palabras, la siguiente ecuación se agrega al sistema de ecuaciones diofánticas que definen un ladrillo de Euler:

donde g es la diagonal espacial. A mayo de 2018, no se ha encontrado ningún ejemplo de cuboide perfecto y nadie ha demostrado que no exista ninguno.

Ladrillo de Euler de lados a, b, c y diagonales de cara d, e, f

Las exhaustivas búsquedas por computadora muestran que, en caso de que existiese un paralelepípedo perfecto:

  • La arista impar debe ser mayor que 2.5 × 1013,[4]
  • La arista más pequeña debe ser mayor que 5 × 1011.[4]

Se conocen algunos hechos sobre propiedades que deben ser satisfechas por un cuboide perfecto primitivo, si existe, basados en la aritmética modular:[5]

  • Una arista, dos diagonales de cara y la diagonal espacial deben ser impares, una arista y la diagonal de la cara restante deben ser divisibles por 4, y la arista restante debe ser divisible por 16.
  • Dos aristas deben tener una longitud divisible por 3 y al menos una de esas aristas debe tener una longitud divisible por 9.
  • Una arista debe tener una longitud divisible por 5.
  • Una arista debe tener una longitud divisible por 7.
  • Una arista debe tener una longitud divisible por 11.
  • Una arista debe tener una longitud divisible por 19.
  • Una arista o la diagonal espacial deben ser divisibles por 13.
  • Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 17.
  • Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 29.
  • Una arista, diagonal de cara o la diagonal espacial debe ser divisible por 37.

En adición:

  • La diagonal espacial no es una potencia principal ni un producto de dos primos.[6]:p. 579
  • La diagonal espacial solo puede contener divisores primos ≡ 1 (mod 4).[6]:p. 566[7]

Cuboides casi perfectos[editar]

Se ha descubierto que hay 3 tipos de cuboides, denominados cuboides cuerpo, arista y cara. Cada tipo tiene una de las 7 longitudes irracionales, las otras 6 longitudes son racionales.[8]

En el caso del cuboide cuerpo, la diagonal espacial g es irracional. Para el paralelepípedo arista, una de las aristas a, b, c es irracional. El cuboide cara tiene solo una de las diagonales faciales d, e, f irracional.

El cuboide cuerpo se conoce comúnmente como el "cuboide de Euler" en honor a Leonard Euler, quien investigó sobre este tipo de cuboide.[9]​ También conocía los cuboides cara y proporcionó el ejemplo (104, 153, 672).[10]

Solo recientemente se conocen los cuboides en números complejos.

A septiembre de 2017, Randall L. Rathbun publicó[11]​ los 155.151 cuboides que había encontrado con el borde entero más pequeño menor de 157.000.000.000: 56.575 eran cuboides de Euler (cuerpo), 15.449 eran paralelepípedos de arista con una longitud de arista en forma de número complejo, 30.081 eran paralelepípedos de arista, y 53.046 eran cuboides de cara.

Las soluciones más pequeñas para cada tipo de cuboide casi perfecto, dadas como aristas, diagonales de cara y la diagonal espacial (a, b, c, d, e, f, g):

  • Cuboide cuerpo: (44, 117, 240, 125, 244, 267, 73225)
  • Cuboide arista: (520, 576, 618849, 776, 943, 975, 1105)
  • Cuboide cara: (104, 153, 672, 185, 680, 474993, 697)
  • Cuboide cuerpo complejo: (63i, 60i, 65, 87i, 16, 25, -3344)
  • Cuboide arista complejo: (-3344, 60, 63, 16, 25, 87, 65)
  • Cuboide cara complejo: (672i, 153i, 697, -474993, 185, 680, 104)

Paralelepípedo perfecto[editar]

Un paralelepípedo perfecto posee aristas, diagonales de cara y diagonales espaciales de longitud entera, pero no necesariamente con todos los ángulos rectos; un cuboide perfecto es un caso especial de un paralelepípedo perfecto. En 2009, se hallaron docenas de paralelepípedos perfectos,[12]​ respondiendo una pregunta abierta por Richard Guy. Un pequeño ejemplo tiene los bordes 271, 106 y 103, las diagonales de cara 101, 266, 255, 183, 312 y 323, y las diagonales espaciales 374, 300, 278 y 272. Algunos de estos paralelepípedos perfectos tienen dos caras rectangulares.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b c d e Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).
  2. Weisstein, Eric W. «Euler Brick». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  3. Math table, February 24, 2009, Oliver Knill, http://www.math.harvard.edu/~knill/various/eulercuboid/lecture.pdf
  4. a b R Matson, Results of a Computer Search for a Perfect Cuboid, http://unsolvedproblems.org/S58.pdf
  5. M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).
  6. a b I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.
  7. Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000
  8. Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.
  9. Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771
  10. Euler, Leonard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
  11. Randall L. Rathbun, The Integer Cuboid Table, Submitted on 16 May 2017 (v1), last revised 4 Sep 2017 (v2) https://arxiv.org/abs/1705.05929
  12. Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). «Perfect parallelepipeds exist». Mathematics of Computation 80: 1037-1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .

Bibliografía[editar]