Árbol binario de búsqueda
Un árbol binario de búsqueda también llamados BST (acrónimo del inglés Binary Search Tree) es un tipo particular de árbol binario que presenta una estructura de datos en forma de árbol usada en informática.
Descripción
Un árbol binario de búsqueda (ABB) es un árbol binario definido de la siguiente forma:
|
Para una fácil comprensión queda resumido en que es un árbol binario que cumple que el subárbol izquierdo de cualquier nodo (si no está vacío) contiene valores menores que el que contiene dicho nodo, y el subárbol derecho (si no está vacío) contiene valores mayores.
Para estas definiciones se considera que hay una relación de orden establecida entre los elementos de los nodos. Que cierta relación esté definida, o no, depende de cada lenguaje de programación. De aquí se deduce que puede haber distintos árboles binarios de búsqueda para un mismo conjunto de elementos.
La altura h en el peor de los casos es siempre el mismo tamaño que el número de elementos disponibles. Y en el mejor de los casos viene dada por la expresión , donde ceil indica redondeo por exceso.
El interés de los árboles binarios de búsqueda (ABB) radica en que su recorrido en inorden proporciona los elementos ordenados de forma ascendente y en que la búsqueda de algún elemento suele ser muy eficiente.
Dependiendo de las necesidades del usuario que trate con una estructura de este tipo, se podrá permitir la igualdad estricta en alguno, en ninguno o en ambos de los subárboles que penden de la raíz. Permitir el uso de la igualdad provoca la aparición de valores dobles y hace la búsqueda más compleja.
Un árbol binario de búsqueda no deja de ser un caso particular de árbol binario, así usando la siguiente especificación de árbol binario en maude:
fmod ARBOL-BINARIO {X :: TRIV}is
sorts ArbolBinNV{X} ArbolBin{X} .
subsort ArbolBinNV{X} < ArbolBin{X} .
*** generadores
op crear : -> ArbolBin{X} [ctor] .
op arbolBin : X$Elt ArbolBin{X} ArbolBin{X} -> ArbolBinNV{X} [ctor] .
endfm
podemos hacer la siguiente definición para un árbol binario de búsqueda (también en maude):
fmod ARBOL-BINARIO-BUSQUEDA {X :: ORDEN} is
protecting ARBOL-BINARIO{VOrden}{X} .
sorts ABB{X} ABBNV{X} .
subsort ABBNV{X} < ABB{X} .
subsort ABB{X} < ArbolBin{VOrden}{X} .
subsort ABBNV{X} < ArbolBinNV{VOrden}{X} .
*** generadores
op crear : -> ArbolBin{X} [ctor] .
op arbolBin : X$Elt ArbolBin{X} ArbolBin{X} -> ArbolBinNV{X} [ctor] .
endfm
con la siguiente teoría de orden:
fth ORDEN is
protecting BOOL .
sort Elt .
*** operaciones
op _<_ : Elt Elt -> Bool .
endfth
para que un árbol binario pertenezca al tipo árbol binario de búsqueda debe cumplir la condición de ordenación siguiente que iría junto al módulo ARBOL-BINARIO-BUSQUEDA:
var R : X$Elt .
vars INV DNV : ABBNV{X} .
vars I D : ABB{X} .
mb crear : ABB{X} .
mb arbolBin(R, crear, crear) : ABBNV{X} .
cmb arbolBin(R, INV, crear) : ABBNV{X} if R > max(INV) .
cmb arbolBin(R, crear, DNV) : ABBNV{X} if R < min(DNV) .
cmb arbolBin(R, INV, DNV) : ABBNV{X} if (R > max(INV)) and (R < min(DNV)) .
ops min max : ABBNV{X} -> X$Elt .
eq min(arbolBin(R, crear, D)) = R .
eq min(arbolBin(R, INV, D)) = min(INV) .
eq max(arbolBin(R, I, crear)) = R .
eq max(arbolBin(R, I, DNV)) = max(DNV) .
Implementación en Python
class nodo:
izq , der, dato = None, None, 0
def __init__(self, dato):
# crea un nodo
self.izq = None
self.der = None
self.dato = dato
class arbolBinario:
def __init__(self):
# inicializa la raiz
self.raiz = None
def agregarNodo(self, dato):
# crea un nuevo nodo y lo devuelve
return nodo(dato)
def insertar(self, raiz, dato):
# inserta un dato nuevo en el árbol
if raiz == None:
# si no hay nodos en el árbol lo agrega
return self.agregarNodo(dato)
else:
# si hay nodos en el árbol lo recorre
if dato <= raiz.dato:
# si el dato ingresado es menor que el dato guardado va al subárbol izquierdo
raiz.izq = self.insertar(raiz.izq, dato)
else:
# si no, procesa el subárbol derecho
raiz.der = self.insertar(raiz.der, dato)
return raiz
Operaciones
Todas las operaciones realizadas sobre árboles binarios de búsqueda están basadas en la comparación de los elementos o clave de los mismos, por lo que es necesaria una subrutina, que puede estar predefinida en el lenguaje de programación, que los compare y pueda establecer una relación de orden entre ellos, es decir, que dados dos elementos sea capaz de reconocer cual es mayor y cual menor. Se habla de clave de un elemento porque en la mayoría de los casos el contenido de los nodos será otro tipo de estructura y es necesario que la comparación se haga sobre algún campo al que se denomina clave.
Búsqueda
La búsqueda Silaina consiste en acceder a la raíz del árbol, si el elemento a localizar coincide con éste la búsqueda ha concluido con éxito, si el elemento es menor se busca en el subárbol izquierdo y si es mayor en el derecho. Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no ha sido encontrado se supone que no existe en el árbol. Cabe destacar que la búsqueda en este tipo de árboles es muy eficiente, representa una función logarítmica. El máximo número de comparaciones que necesitaríamos para saber si un elemento se encuentra en un árbol binario de búsqueda estaría entre [log2(N+1)] y N, siendo N el número de nodos. La búsqueda de un elemento en un ABB (Árbol Binario de Búsqueda) se puede realizar de dos formas, iterativa o recursiva.
Ejemplo de versión iterativa en el lenguaje de programación C, suponiendo que estamos buscando una clave alojada en un nodo donde está el correspondiente "dato" que precisamos encontrar:
data Buscar_ABB(abb t,clave k)
{
abb p;
dato e;
e=NULL;
p=t;
if (!estaVacio(p))
{
while (!estaVacio(p) && (p->k!=k) )
{
if (k < p->k)
{
p=p->l;
}
if (p->k < k)
{
p=p->r;
}
}
if (!estaVacio(p) &&(p->d!=NULL) )
{
e=copiaDato(p->d);
}
}
return e;
}
Véase ahora la versión recursiva en ese mismo lenguaje:
int buscar(tArbol *a, int elem)
{
if (a == NULL)
{
return 0;
}
else if (a->clave < elem)
{
return buscar(a->hDerecho, elem);
}
else if (a->clave > elem)
{
return buscar(a->hIzquierdo, elem);
}
else
{
return 1;
}
}
Otro ejemplo en Python:
def buscar(raiz, clave):
# busca el valor clave dentro del arbol
if raiz == None:
print 'No se encuentra'
else:
#
if clave == raiz.dato:
print 'El valor ',clave,' se encuentra en el ABB'
elif clave < raiz.dato:
# lado izquierdo
return buscar(raiz.izq, clave)
else:
# lado derecho
return buscar(raiz.der, clave)
En Pascal:
Function busqueda(T:ABR, y: integer):ABR
begin
if (T=nil) or (^T.raiz=y) then
busqueda:=T;
else
if (^T.raiz<y) then
busqueda:=busqueda(^T.dch,y);
else
busqueda:=busqueda(^T.izq,y);
end;
Una especificación en maude para la operación de búsqueda quedaría de la siguiente forma:
op esta? : X$Elt ABB{X} -> Bool .
var R R1 R2 : X$Elt .
vars I D : ABB{X} .
eq esta?(R, crear) = false .
eq esta?(R1, arbolBin(R2, I, D)) = if R1 == R2 then
true
else
if R1 < R2 then
esta?(R1, I)
else
esta?(R1, D)
fi
fi .
Inserción
La inserción es similar a la búsqueda y se puede dar una solución tanto iterativa como recursiva. Si tenemos inicialmente como parámetro un árbol vacío se crea un nuevo nodo como único contenido el elemento a insertar. Si no lo está, se comprueba si el elemento dado es menor que la raíz del árbol inicial con lo que se inserta en el subárbol izquierdo y si es mayor se inserta en el subárbol derecho.
Como en el caso de la búsqueda puede haber varias variantes a la hora de implementar la inserción en el TAD (Tipo Abstracto de Datos), y es la decisión a tomar cuando el elemento (o clave del elemento) a insertar ya se encuentra en el árbol, puede que éste sea modificado o que sea ignorada la inserción. Es obvio que esta operación modifica el ABB perdiendo la versión anterior del mismo.
A continuación se muestran las dos versiones del algoritmo en pseudolenguaje, iterativa y recursiva, respectivamente.
PROC InsertarABB(árbol:TABB; dato:TElemento)
VARIABLES
nuevonodo,pav,pret:TABB
clavenueva:Tclave
ele:TElemento
INICIO
nuevonodo <- NUEVO(TNodoABB)
nuevonodo^.izq <- NULO
nuevonodo^.der <- NULO
nuevonodo^.elem <- dato
SI ABBVacío (árbol) ENTONCES
árbol <- nuevonodo
ENOTROCASO
clavenueva <- dato.clave
pav <- árbol // Puntero Avanzado
pret <- NULO // Puntero Retrasado
MIENTRAS (pav <- NULO) HACER
pret <- pav
ele = pav^.elem
SI (clavenueva < ele.clave ) ENTONCES
pav <- pav^.izq
EN OTRO CASO
pav <- pav^.dch
FINSI
FINMIENTRAS
ele = pret^.elem
SI (clavenueva < ele.clave ) ENTONCES
pret^.izq <- nuevonodo
EN OTRO CASO
pret^.dch <- nuevonodo
FINSI
FINSI
FIN
PROC InsertarABB(árbol:TABB; dato:TElemento)
VARIABLES
ele:TElemento
INICIO
SI (ABBVacío(árbol)) ENTONCES
árbol <- NUEVO(TNodoABB)
árbol^.izq <- NULO
árbol^.der <- NULO
árbol^.elem <- dato
EN OTRO CASO
ele = InfoABB(árbol)
SI (dato.clave < ele.clave) ENTONCES
InsertarABB(árbol^.izq, dato)
EN OTRO CASO
InsertarABB(árbol^.dch, dato)
FINSI
FINSI
FIN
Se ha podido apreciar la simplicidad que ofrece la versión recursiva, este algoritmo es la traducción en C. El árbol es pasado por referencia para que los nuevos enlaces a los subárboles mantengan la coherencia.
void insertar(tArbol **a, int elem)
{
if (*a == NULL)
{
*a = (tArbol *) malloc(sizeof(tArbol));
(*a)->clave = elem;
(*a)->hIzquierdo = NULL;
(*a)->hDerecho = NULL;
}
else if ((*a)->clave < elem)
insertar(&(*a)->hDerecho, elem);
else if ((*a)->clave > elem)
insertar(&(*a)->hIzquierdo, elem);
}
En Python el mecanismo de inserción se define, por ejemplo, dentro de la clase que defina el ABB (ver más arriba).
Otro ejemplo en Pascal:
Procedure Insercion(var T:ABR, y:integer)
var
ultimo:ABR;
actual:ABR;
nuevo:ABR;
begin
ultimo:=nil;
actual:=T;
while (actual<>nil) do
begin
ultimo:=actual;
if (actual^.raiz<y) then
actual:=actual^.dch
else
actual:=actual^.izq;
end;
new(nuevo);
^nuevo.raiz:=y;
^nuevo.izq:=nil;
^nuevo.dch:=nil;
if ultimo=nil then
T:=nuevo
else
if ultimo^.raiz<y then
ultimo^.dch:=nuevo
else
ultimo^.izq:=nuevo;
end;
Véase también un ejemplo de algoritmo recursivo de inserción en un ABB en el lenguaje de programación Maude:
op insertar : X$Elt ABB{X} -> ABBNV{X} .
var R R1 R2 : X$Elt .
vars I D : ABB{X} .
eq insertar(R, crear) = arbolBin(R, crear, crear) .
eq insertar(R1, arbolBin(R2, I, D)) = if R1 < R2 then
arbolBin(R2, insertar(R1, I), D)
else
arbolBin(R2, I, insertar(R1, D))
fi .
La operación de inserción requiere, en el peor de los casos, un tiempo proporcional a la altura del árbol.
Borrado
La operación de borrado no es tan sencilla como las de búsqueda e inserción. Existen varios casos a tener en consideración:
- Borrar un nodo sin hijos o nodo hoja: simplemente se borra y se establece a nulo el apuntador de su padre.
- Borrar un nodo con un subárbol hijo: se borra el nodo y se asigna su subárbol hijo como subárbol de su padre.
- Borrar un nodo con dos subárboles hijo: la solución está en reemplazar el valor del nodo por el de su predecesor o por el de su sucesor en inorden y posteriormente borrar este nodo. Su predecesor en inorden será el nodo más a la derecha de su subárbol izquierdo (mayor nodo del subarbol izquierdo), y su sucesor el nodo más a la izquierda de su subárbol derecho (menor nodo del subarbol derecho). En la siguiente figura se muestra cómo existe la posibilidad de realizar cualquiera de ambos reemplazos:
El siguiente algoritmo en C realiza el borrado en un ABB. El procedimiento reemplazar busca la mayor clave del subárbol izquierdo y la asigna al nodo a eliminar.
void reemplazar(tArbol **a, tArbol **aux); /*Prototipo de la funcion ''reemplazar''*/
void borrar(tArbol **a, int elem)
{
tArbol *aux;
if (*a == NULL)
return;
if ((*a)->clave < elem)
borrar(&(*a)->hDerecho, elem);
else if ((*a)->clave > elem)
borrar(&(*a)->hIzquierdo, elem);
else if ((*a)->clave == elem)
{
aux = *a;
if ((*a)->hIzquierdo == NULL)
*a = (*a)->hDerecho;
else if ((*a)->hDerecho == NULL)
*a = (*a)->hIzquierdo;
else
reemplazar(&(*a)->hIzquierdo, &aux);
free(aux);
}
}
void reemplazar(tArbol **a, tArbol **aux)
{
if ((*a)->hDerecho == NULL)
{
(*aux)->clave = (*a)->clave;
*aux = *a;
*a = (*a)->hIzquierdo;
}
else
reemplazar(&(*a)->hDerecho, & aux);
}
Otro ejemplo en Pascal.
Procedure Borrar(var T:ABR, x:ABR)
var
aBorrar:ABR;
anterior:ABR;
actual:ABR;
hijo:ABR;
begin
if (^x.izq=nil) or (^x.dch=nil) then
aBorrar:=x;
else
aBorrar:=sucesor(T,x);
actual:=T;
anterior:=nil;
while (actual<>aBorrar) do
begin
anterior:=actual;
if (^actual.raiz<^aBorrar.raiz) then
actual:=^actual.dch;
else
actual:=^actual.izq;
end;
if (^actual.izq=nil) then
hijo:=^actual.dch;
else
hijo:=^actual.izq;
if (anterior=nil) then
T:=hijo;
else
if (^anterior.raiz<^actual.raiz) then
^anterior.dch:=hijo;
else
^anterior.izq:=hijo;
if (aBorrar<>x) then
^x.raiz:=^aBorrar.raiz;
free(aBorrar);
end;
Véase también un ejemplo de algoritmo recursivo de borrado en un ABB en el lenguaje de programación Maude, considerando los generadores crear y arbolBin. Esta especificación hace uso de la componente clave a partir de la cual se ordena el árbol.
op eliminar : X$Elt ABB{X} -> ABB{X} .
varS R M : X$Elt .
vars I D : ABB{X} .
vars INV DNV : ABBNV{X} .
ops max min : ArbolBin{X} -> X$Elt .
eq min(arbolBin(R, crear, D)) = R .
eq max(arbolBin(R, I, crear)) = R .
eq min(arbolBin(R, INV, D)) = min(INV) .
eq max(arbolBin(R, I, DNV )) = max(DNV) .
eq eliminar(M, crear) = crear .
ceq eliminar(M, arbolBin(R, crear, D)) = D if M == clave(R) .
ceq eliminar(M, arbolBin(R, I, crear)) = I if M == clave(R) .
ceq eliminar(M, arbolBin(R, INV, DNV)) = arbolBin(max(INV), eliminar(clave(max(INV)), INV), DNV) if M == clave(R) .
ceq eliminar(M, arbolBin(R, I, D)) = arbolBin(R, eliminar(M, I), D) if M < clave(R) .
ceq eliminar(M, arbolBin(R, I, D)) = arbolBin(R, I, eliminar(M, D)) if clave(R) < M .
Otras Operaciones
Otra operación sería por ejemplo comprobar que un árbol binario es un árbol binario de búsqueda. Su implementación en maude es la siguiente:
op esABB? : ABB{X} -> Bool .
var R : X$Elt .
vars I D : ABB{X} .
eq esABB?(crear) = true .
eq esABB?(arbolbBin(R, I, D)) =
(Max(I) < R) and (Min(D) > R) and
(esABB?(I)) and (esABB?(D)) .
Recorridos
Se puede hacer un recorrido de un árbol en profundidad o en anchura.
Los recorridos en anchura son por niveles, se realiza horizontalmente desde la raíz a todos los hijos antes de pasar a la descendencia de alguno de los hijos.
El coste de recorrer el ABB es O(n), ya que se necesitan visitar todos los vértices.
El recorrido en profundidad lleva al camino desde la raíz hacia el descendiente más lejano del primer hijo y luego continúa con el siguiente hijo. Como recorridos en profundidad tenemos inorden, preorden y postorden.
Una propiedad de los ABB es que al hacer un recorrido en profundidad inorden obtenemos los elementos ordenados de forma ascendente.
Resultado de hacer el recorrido en:
Inorden = [6, 9, 13, 14, 15, 17, 20, 26, 64, 72].
Preorden = [15, 9, 6, 14, 13, 20, 17, 64, 26, 72].
Postorden =[6, 13, 14, 9, 17, 26, 72, 64, 20, 15].
Recorridos en Visual Basic .Net
'función de recorrido en PREORDEN
Public Function preorden() As String
cadenasalida = ""
rePreorden(raíz)
Return cadenasalida
End Function
Private Sub rePreorden(ByVal padre As Nodo)
If IsNothing(padre) Then
Return
End If
cadenasalida = cadenasalida & "-" & padre.dato
rePreorden(padre.ant)
rePreorden(padre.sig)
End Sub
'función de recorrido en POSTORDEN
Public Function postorden() As String
cadenasalida = ""
reposorden(raíz)
Return cadenasalida
End Function
Private Sub repostorden(ByVal padre As Nodo)
If IsNothing(padre) Then
Return
End If
repostorden(padre.ant)
repostorden(padre.sig)
cadenasalida = cadenasalida & "-" & padre.dato
End Sub
'función de recorrido en ENORDEN
Public Function inorden() As String
cadenasalida = ""
reinorden(raíz)
Return cadenasalida
End Function
Private Sub reinorden(ByVal padre As Nodo)
If IsNothing(padre) Then
Return
End If
reinorden(padre.ant)
cadenasalida = cadenasalida & "-" & padre.dato
reinorden(padre.sig)
End Sub
Recorridos en C con funciones recursivas
struct Nodo{
char nombre[30];
struct Nodo *izq;
struct Nodo *der;
};
typedef struct Nodo Nodo;
typedef Nodo *Arbol;
void preOrden(Arbol abb){
if(abb)
{
printf("%s\n", abb->nombre);
preOrden(abb->izq);
preOrden(abb->der);
}
}
void postOrden(Arbol abb){
if(abb)
{
postOrden(abb->izq);
postOrden(abb->der);
printf("%s\n", abb->nombre);
}
}
void inOrden(Arbol abb){
if(abb)
{
inOrden(abb->izq);
printf("%s\n", abb->nombre);
inOrden(abb->der);
}
}
Tipos de árboles binarios de búsqueda
Hay varios tipos de árboles binarios de búsqueda. Los árboles AVL, árbol rojo-negro, son árboles autobalanceables . Los árbol biselado son árboles también autobalanceables con la propiedad de que los elementos accedidos recientemente se accederá más rápido en posteriores accesos. En el montículo como en todos los árboles binarios de búsqueda cada nodo padre tiene un valor mayor que sus hijos y además es completo, esto es cuando todos los niveles están llenos con excepción del último que puede no estarlo, por último, en lo montículos, cada nodo mantiene una prioridad y siempre, un nodo padre tendrá una prioridad mayor a la de su hijo.
Otras dos maneras de configurar un árbol binario de búsqueda podría ser como un árbol completo o degenerado.
Un árbol completo es un árbol con "n" niveles, donde cada nivel d <= n-1; el número de nodos existentes en el nivel "d" es igual que 2d. Esto significa que todos los posibles nodos existen en esos niveles, no hay ningún hueco. Un requirimiento adicional para un árbol binario completo es que para el nivel "n", los nodos deben estar ocupados de izquierda a derecha, no pudiendo haber un hueco a la izquierda de un nodo ocupado.
Un árbol degenerativo es un árbol que, para cada nodo padre, sólo hay asociado un nodo hijo. Por lo que se comporta como una lista enlazada.
Comparación de rendimiento
D. A. Heger(2004)[1] realiza una comparación entre los diferentes tipos de árboles binarios de búsqueda para encontrar que tipo nos daría el mejor rendimiento para cada caso. Los montículos se encuentran como el tipo de árbol binario de búsqueda que mejor resultado promedio da, mientras que los árboles rojo-negro los que menor rendimiento medio nos aporta.
Buscando el Árbol binario de búsqueda óptimo
Si nosotros no tenemos en mente planificar un árbol binario de búsqueda, y sabemos exactamente como de frecuente serán visitados cada elemento podemos construir un árbol binario de búsqueda óptimo con lo que conseguiremos que la media de gasto generado a la hora de buscar un elemento sea minimizado.
Asumiendo que conocemos los elementos y en qué nivel está cada uno, también conocemos la proporción de futuras búsquedas que se harán para encontrar dicho elemento. Si es así, podemos usar una solución basada en la programación dinámica.
En cambio, a veces sólo tenemos la estimación de los costes de búsqueda, como pasa con los sistemas que nos muestra el tiempo que ha necesitado para realizar una búsqueda. Un ejemplo, si tenemos un ABB de palabras usado en un corrector ortográfico, deberíamos balancear el árbol basado en la frecuencia que tiene una palabra en el Corpus lingüístico, desplazando palabras como "de" cerca de la raíz y palabras como "vesánico" cerca de las hojas. Un árbol como tal podría ser comparado con los árboles Huffman que tratan de encontrar elementos que son accedidos frecuentemente cerca de la raíz para producir una densa información; de todas maneras, los árboles Huffman sólo puede guardar elementos que contienen datos en las hojas y estos elementos no necesitan ser ordenados.
En cambio, si no sabemos la secuencia en la que los elementos del árbol van a ser accedidos, podemos usar árboles biselados que son tan buenos como cualquier árbol de búsqueda que podemos construir para cualquier secuencia en particular de operaciones de búsqueda.
Árboles alfabéticos son árboles Huffman con una restricción de orden adicional, o lo que es lo mismo, árboles de búsqueda con modificación tal que todos los elementos son almacenados en las hojas.
Véase también
Referencias
- ↑ Heger, Dominique A. (2004), «A Disquisition on The Performance Behavior of Binary Search Tree Data Structures», European Journal for the Informatics Professional 5 (5).