Teorema de la divergencia

En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema de Green-Ostrogradsky o teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo de salida neto de una región. Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes.

Historia

El teorema fue descubierto originariamente por Joseph Louis Lagrange en 1762, e independientemente por Carl Friedrich Gauss en 1813, por George Green en 1825 y en 1831 por Mikhail Vasilievich Ostrogradsky, que también dio la primera demostración del teorema. Posteriormente, variaciones del teorema de divergencia se conocen como teorema de Gauss, el teorema de Green, y teorema de Ostrogradsky.

Enunciado

Sean $H\,$ y $U\,$ dos subconjuntos abiertos en $\mathbb {R} ^{3}$ donde $U\subset H$ es simplemente conexo y el borde de $U\,$ , $S=\partial U\,$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.

Sea $\mathbf {F} :H\to \mathbb {R} ^{3}$ , un campo vectorial de clase $C^{1}\,$ , es decir, $\mathbf {F}$ cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.

Entonces:

$\iint _{S}{\mathbf {F} \cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS}=\iiint _{U}{\nabla \cdot \mathbf {F} \;dV}$

donde el vector ${\vec {\mathbf {n} }}\,$ normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen $V\,$ .

Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo de aplicación

Calcular el flujo del campo vectorial $\mathbf {F} (x,y,z)=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k}$ a través de la superficie esférica $x^{\,\!2}+y^{\,\!2}+z^{\,\!2}=4$

Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es $R\,=2$ . Entonces:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial f_{1}\;}{\partial x\;}}+{\frac {\partial f_{2}\;}{\partial y\;}}+{\frac {\partial f_{3}\;}{\partial z\;}}=1+1+1=3$

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

$\iint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS=\iiint _{V}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \ dV=\iiint _{V}3\,\ dV=3\,\iiint _{V}\ dV=3V=3\times {\frac {4}{3}}\pi \times 2^{3}=32\,\pi$

Véase también

Enlaces externos

Differential Operators and the Divergence Theorem at MathPages
The Divergence (Gauss) Theorem by Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project.
Weisstein, Eric W. «Divergence Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.