Teorema de Bayes

En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea $\{A_1, A_2, ..., A_i, ..., A_n\}$ un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $P(B | A_i)$. Entonces, la probabilidad $P(A_i | B)$ viene dada por la expresión: $P(A_i|B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{P(B)}$ donde: $P(A_i)$ son las probabilidades a priori. $P(B|A_i)$ es la probabilidad de $B$ en la hipótesis $A_i$. $P(A_i|B)$ son las probabilidades a posteriori. Thomas Bayes (1763)

Ejemplo Introductorio

Suponga que alguien le comentara que ha tenido una conversación amable con alguien en el tren. Sin saber nada más acerca de esta conversación, digamos que la probablidad de que estuviera hablando con una mujer sea del 50%. Ahora suponga también que le comentaran que esa persona tenía pelo largo. Podemos entender entonces que es más probable que la charla haya sido con una mujer, ya que las mujeres usualmente llevan el cabello más largo que los hombres. El teorema de Bayes puede ser utilizado para calcular la probabilidad de que esa persona sea una mujer.

Para empezar, llamemos: M: el evento de la conversación con la mujer. L: el hecho de que esa persona llevaba el cabello largo.

Puede asumirse, en este ejemplo, que las mujeres representan la mitad de la población. Matemáticamente, se simboliza como: P(W)=0.5. Supongamos ahora que también sabemos que el 75% de las mujeres usan el cabello largo. Esto se marca como: P(L/M)=0.75. (probabilidad condicional de L dado M) Asumamos también que solamente el 15% de los hombres llevan el pelo largo. Es decir P(L/H)=0,15, donde M es el evento complementario de M. Es decir, que o bien la conversación se realizó con una mujer (M), o con un hombre (H). Nuestra meta consiste en calcular la probabilidad de que la conversación haya sido con una mujer, dado el hecho de que la persona tenía cabello largo. En nuestra notación, P(M/L). Usando la fórmula del teorema de Bayes, obtenemos: $P(M|L) = \frac{P(L|M) P(M)}{P(L)} = \frac{P(L|M) P(M)}{P(L|M) P(M) + P(L|H) P(H)}$

Donde hemos usado la ley de la probabilidad total. Si ahora reemplazamos por los valores numéricos, obtenemos:

$P(M|L) = \frac{0.75\cdot0.50}{0.75\cdot0.50 + 0.15\cdot0.50} = \frac56\approx 0.83,$

Esto es, la probabilidad de que la conversación se haya llevado a cabo con una mujer, dado que la persona tenía pelo largo, es de aproximadamente 83%.

Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las escuelas padres y en aplicaciones de iTunes. También es una tonteoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea que finalmente no importa, ya que no se logrará arreglar. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas, además de que no tienen vida social. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Como observación, se tiene $\sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1$ y su demostración resulta trivial.

Véase también

• Paradoja del cuervo
• Inferencia bayesiana

Enlaces externos

• Calculadora en internet
• Inferencia estadística según el modelo bayesiano, en la web de la Sociedad Andaluza de Enfermedades Infecciosas
• Enciclopedia Stanford de filosofía
• Simulacion del Teorema de Bayes con R-Project