Tensor de campo electromagnético

En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-covariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:

$\mathbf {F} =F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}\\{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{o bien}}\qquad \mathbf {F} =F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\cfrac {E_{x}}{c}}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&{\cfrac {E_{z}}{c}}\\-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

Componentes del tensor

El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:

$A^{\alpha }=\left({\frac {\Phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

Donde $\,\phi$ y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.

El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondecia con un objeto de rango 2, debemos hacer actuar la derivada exterior. Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:

$\,F=dA$

Si utilizamos un sistema coordenado Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma.

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }

Si recordamos como se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\cfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Por tanto las componentes del tensor se obtendán de la siguiente forma:En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de

$F^{01}=\partial ^{0}A^{1}-\partial ^{1}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-\left(-{\frac {\partial (\phi /c)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right]=-{\cfrac {E_{x}}{c}}$

Igualmente:

$F^{02}=-{\frac {E_{y}}{c}},\qquad F^{03}=-{\frac {E_{z}}{c}}$

Para los índices espacial-espacial, tenemos que:

$F^{12}=\partial ^{1}A^{2}-\partial ^{2}A^{1}=-{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}=-B_{z},\quad F^{13}=B_{y},\quad F^{23}=-B_{x}$

Propiedades

El tensor es antisimétrico: $\,F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$ $\,F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$
- Demostración: $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }=-(\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\nu })=-F^{\nu \mu }$
Los términos de la diagonal son nulos: $\,F^{\mu \mu }=0$ $\,F^{\mu \mu }=0$
- Demostración: $F^{\mu \mu }=\partial ^{\mu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\mu }=0$
Dado que F proviene de un potencial $\,F=dA$ $\,F=dA$ , se dice que es una 2-forma exacta. Según en Lema de Poincaré toda forma exacta tiene derivada exterior nula: $\,dF=0$ $\,dF=0$
- Esto implica que en los sistemas coordenados Lorentz se cumple: $\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0$
El tensor es invariante bajo transformaciones gauge del cuadripotencial.
- En coordenadas Lorentz, si escogemos un cuadripotencial distinto a $A_{\mu }$ , de la forma $A_{\mu }+\partial _{\mu }\chi$ , donde $\chi$ es una función arbitraria, es inmediato comprobar que: $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }\chi -\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\chi =\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ .
- De forma más geométrica, puesto que $F=dA$ , tomando un cuadripotencial $A+d\chi$ , se obtiene $F=d(A+d\chi )=dA$ , puesto que la derivada exterior cumple $d^{2}=0$ .

Otras expresiones del tensor

Mediante el tensor métrico $\,g_{\mu \nu }$ podemos subir o bajar índices. Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):

\,F_{\alpha \beta }=g_{\alpha \mu }F^{\mu \nu }g_{\nu \beta }

Por tanto

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\cfrac {E_{x}}{c}}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&{\cfrac {E_{z}}{c}}\\-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

Tensor dual

Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E/c → B y B → −E/c, se obtiene el tensor dual G^μν:

G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&{\cfrac {E_{z}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}\\B_{y}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}&0&{\cfrac {E_{x}}{c}}\\B_{z}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0\end{pmatrix}}

O, bajando índices:

G_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&{\cfrac {E_{z}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}\\-B_{y}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}&0&{\cfrac {E_{x}}{c}}\\-B_{z}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0\end{pmatrix}}

Véase también