Tensor de campo electromagnético

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En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-covariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:

Componentes del tensor[editar]

El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:

Donde y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.

El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondencia con un objeto de rango 2 debemos hacer actuar la derivada exterior. Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:

Si utilizamos un sistema coordenado de Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma:

Si recordamos cómo se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:

Por tanto, las componentes del tensor se obtendrán de la siguiente forma:

Igualmente:

Para los índices espacial-espacial, tenemos que:

Propiedades[editar]

  1. El tensor es antisimétrico:
    • Demostración:
  2. Los términos de la diagonal son nulos:
    • Demostración:
  3. Dado que F proviene de un potencial , se dice que es una 2-forma exacta. Según en Lema de Poincaré toda forma exacta tiene derivada exterior nula:
    • Esto implica que en los sistemas coordenados Lorentz se cumple:
  4. El tensor es invariante bajo transformaciones gauge del cuadripotencial.
    • En coordenadas Lorentz, si escogemos un cuadripotencial distinto a , de la forma , donde es una función arbitraria, es inmediato comprobar que: .
    • De forma más geométrica, puesto que , tomando un cuadripotencial , se obtiene , puesto que la derivada exterior cumple .

Otras expresiones del tensor[editar]

Mediante el tensor métrico podemos subir o bajar índices. Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):

Por tanto

Tensor dual[editar]

Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E/cB y B → −E/c, se obtiene el tensor dual Gμν:

O, bajando índices:

Véase también[editar]