Tensor de campo electromagnético

En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-contravariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:

$\mathbf {F} =F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-{\cfrac {E_{x}}{c}}&-{\cfrac {E_{y}}{c}}&-{\cfrac {E_{z}}{c}}\\{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\qquad {\mbox{o bien}}\qquad \mathbf {F} =F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\cfrac {E_{x}}{c}}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&{\cfrac {E_{z}}{c}}\\-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}$

Componentes del tensor

El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:

$A^{\alpha }=\left({\frac {\Phi }{c}},\mathbf {A} \right)$

Donde $\,\phi$ y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.

El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondencia con un objeto de rango 2 debemos hacer actuar la derivada exterior. Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:

$\,F=dA$

Si utilizamos un sistema coordenado de Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma:

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }

Si recordamos cómo se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:

$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\cfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},\qquad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Por tanto, las componentes del tensor se obtendrán de la siguiente forma:

$F^{01}=\partial ^{0}A^{1}-\partial ^{1}A^{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}-\left(-{\frac {\partial (\phi /c)}{\partial x}}\right)={\frac {1}{c}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right]=-{\cfrac {E_{x}}{c}}$

Igualmente:

$F^{02}=-{\frac {E_{y}}{c}},\qquad F^{03}=-{\frac {E_{z}}{c}}$

Para los índices espacial-espacial, tenemos que:

$F^{12}=\partial ^{1}A^{2}-\partial ^{2}A^{1}=-{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}=-B_{z},\quad F^{13}=B_{y},\quad F^{23}=-B_{x}$

Propiedades

El tensor es antisimétrico: $\,F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$ $\,F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$
- Demostración: $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }=-(\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\nu })=-F^{\nu \mu }$
Los términos de la diagonal son nulos: $\,F^{\mu \mu }=0$ $\,F^{\mu \mu }=0$
- Demostración: $F^{\mu \mu }=\partial ^{\mu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }A^{\mu }=0$
Dado que F proviene de un potencial $\,F=dA$ $\,F=dA$ , se dice que es una 2-forma exacta. Según en Lema de Poincaré toda forma exacta tiene derivada exterior nula: $\,dF=0$ $\,dF=0$
- Esto implica que en los sistemas coordenados Lorentz se cumple: $\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=0$
El tensor es invariante bajo transformaciones gauge del cuadripotencial.
- En coordenadas Lorentz, si escogemos un cuadripotencial distinto a $A_{\mu }$ , de la forma $A_{\mu }+\partial _{\mu }\chi$ , donde $\chi$ es una función arbitraria, es inmediato comprobar que: $F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial ^{\mu }\partial ^{\nu }\chi -\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\chi =\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$ .
- De forma más geométrica, puesto que $F=dA$ , tomando un cuadripotencial $A+d\chi$ , se obtiene $F=d(A+d\chi )=dA$ , puesto que la derivada exterior cumple $d^{2}=0$ .

Otras expresiones del tensor

Mediante el tensor métrico $\,g_{\mu \nu }$ podemos subir o bajar índices. Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):

\,F_{\alpha \beta }=g_{\alpha \mu }F^{\mu \nu }g_{\nu \beta }

Por tanto

F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&{\cfrac {E_{x}}{c}}&{\cfrac {E_{y}}{c}}&{\cfrac {E_{z}}{c}}\\-{\cfrac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\cfrac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\cfrac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

Tensor dual

Existe otra forma de agrupar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E/c → B y B → −E/c, se obtiene el tensor dual $G^{\mu \nu }$ :