Serie geométrica

En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.

Por ejemplo la serie

{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots \,+\,{\frac {1}{2^{n}}}

es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por ${\frac {1}{2}}$ .

Razón común

Los términos de una serie geométrica forman una progresión geométrica, es decir que la razón entre términos sucesivos permanece constante.

El comportamiento de los términos depende de la razón común r:

Si $-1<r<+1\$ los términos decrecen y se acercan a cero en el límite. En tal caso, la serie converge.
Si $r>1\$ o $r<-1\$ los términos de la serie se incrementan en magnitud. La suma de los términos también aumenta y la serie no tiene suma. La serie diverge.
Si r es igual a uno, todos los términos de la serie son iguales. La serie diverge.
Si r es igual a menos uno, los términos alternan su valor. La suma de los términos oscila; es un tipo distinto de divergencia (véase por ejemplo la serie de Grandi).

Suma

La suma de una serie geométrica será finita siempre y cuando los términos se aproximen a cero; a medida que se acercan al cero, las cantidades se vuelven insignificantemente pequeñas, permitiendo calcular la suma sin importar el hecho que la serie sea infinita. La suma puede ser obtenida utilizando las propiedades autosimilares de la serie.

Fórmula

Para $r\neq 1$ , la suma de los primeros n términos de una serie geométrica es:

a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}}

donde a es el primer término de la serie y r la razón común.

Demostración
${\begin{aligned}&{\text{Sea }}s=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.\\[4pt]&{\text{Entonces }}rs=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots +ar^{n}.\\[4pt]&{\text{Entonces }}s-rs=s(1-r)=a-ar^{n},{\text{ luego }}s=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}.\end{aligned}}$

Ejemplo:

Dada la suma de la serie geométrica:

s\;=\;1\,+\,{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,\cdots

La razón común de esta serie es 2/3. Multiplicando por 2/3 cada término, se obtiene:

{\frac {2}{3}}s\;=\;{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,{\frac {16}{81}}\,+\,\cdots

Esta nueva serie es como la original excepto por el primer término que falta. Restándolas, se obtiene:

s\,-\,{\tfrac {2}{3}}s\;=\;1

, por lo que

s=3\

.

Una técnica similar puede utilizarse al evaluar cualquier expresión autosimilar.

Convergencia

La serie geométrica real de término inicial $a\in \mathbb {R}$ no nulo y de razón $r\in \mathbb {R}$ es convergente si y solamente si $|r|<1$ . En tal caso, su suma vale: