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En análisis matemático , la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto , gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda " o matemáticamente:
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
⋅
g
+
f
⋅
g
′
{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,}
O usando la notación de Leibniz :
d
d
x
(
u
⋅
v
)
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
{\displaystyle {d \over dx}(u\cdot v)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}}
Demostración Se puede demostrar la regla usando las características del límite y la definición de la derivada como el límite del cociente de la diferencia .
Sea
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,}
con g y h continuas y diferenciables en la variable x . Entonces
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
(
g
⋅
h
)
(
x
+
Δ
x
)
−
(
g
⋅
h
)
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g\cdot h)(x+\Delta x)-(g\cdot h)(x)}{\Delta x}}}
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}}
Como
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
=
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
+
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
,
{\displaystyle g\left(x+\Delta x\right)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x),}
se tiene
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
)
+
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
h
(
x
+
Δ
x
)
Δ
x
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}}
=
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
)
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
+
h
(
x
+
Δ
x
)
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}
=
lim
Δ
x
→
0
[
g
(
x
)
(
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
Δ
x
)
+
h
(
x
+
Δ
x
)
(
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
)
]
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}
Distribuyendo ahora el limite entre la suma y los productos (ver propiedades
f
′
(
x
)
=
[
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
)
]
[
lim
Δ
x
→
0
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
Δ
x
]
+
[
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
]
[
lim
Δ
x
→
0
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
]
{\displaystyle f'(x)=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}
Como h es continua en x , se tiene
lim
Δ
x
→
0
h
(
x
+
Δ
x
)
=
h
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}
y por la definición de la derivada, y la diferenciabilidad de h y g en x , se tiene también
[
lim
Δ
x
→
0
(
h
(
x
+
Δ
x
)
−
h
(
x
)
)
Δ
x
]
=
h
′
(
x
)
{\displaystyle \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]=h'(x)}
[
lim
Δ
x
→
0
(
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
)
Δ
x
]
=
g
′
(
x
)
{\displaystyle \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]=g'(x)}
Por tanto,
f
′
(
x
)
=
g
(
x
)
h
′
(
x
)
+
h
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,}
lo cual termina la prueba.
Ejemplo Suponiendo que se quiere derivar:
f
(
x
)
=
x
2
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=x^{2}\,\sin(x)}
Usando la regla del producto, se obtiene la derivada:
f
′
(
x
)
=
2
x
sin
(
x
)
+
x
2
cos
(
x
)
{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x\,\sin(x)+x^{2}\,\cos(x)}
ya que la derivada de
x
2
{\displaystyle x^{2}\,}
2
x
{\displaystyle 2x\,}
y la derivada de
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)\,}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)\,}
Regla generalizada del producto ( o formula de Leibnitz de la derivada n-esima) Esta regla puede ser generalizada para la obtención del término de una derivación sucesiva de producto.
Sean f y g funciones n-veces diferenciables. La derivada enésima del producto
f
⋅
g
{\displaystyle f\cdot g}
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
k
)
g
(
n
−
k
)
{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}
donde
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
coeficiente binomial .
Esto es probado a través de la regla del producto e inducción .
Véase también Referencias
![{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97b5870aa2eecae3a3644dcac9c4e407ef7188b)
![{\displaystyle f'(x)=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d622952ac00fc2a35e2d0ddd892848d105515468)
![{\displaystyle \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]=h'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33355ef9f825d1e20bae48f86f30c50944fc971)
![{\displaystyle \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]=g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f84ff4c1c24330e72e8f22b452fa3df82d791d6)
