Regla de la cadena

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si $f$ es diferenciable en $x$ y $g$ es una función diferenciable en $f(x)$, entonces la función compuesta $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ es diferenciable en $x$, y

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

${\frac {dg}{dx}}={\frac {dg}{df}}{\frac {df}{dx}}$

Demostración Sea $h\left(x\right)=\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ $=f\left(g\left(x\right)\right).$ Por definición la derivada es: ${\frac {{\text{d}}h}{{\text{d}}x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}$ $=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}}.$ Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre $g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)$ $\neq 0.$ $=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}}\cdot {\frac {g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}}$ $=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}}\cdot {\frac {g(x+\Delta x)-g\left(x\right)}{\Delta x}}$ $={\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}g}}\cdot {\frac {{\text{d}}g}{{\text{d}}x}}.$

donde ${\frac {dg}{df}}$ indica que g depende de f como si esta fuera una variable.

Demostración

Hay varias demostraciones de la regla de la cadena ^{[cita requerida]}. La siguiente comienza con la propia definición de derivada:

$(f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.$

Supongamos que $g(x)\!$ no es igual $g(a)\!$ para todo x en un entorno de a. Entonces, la expresión anterior es igual al producto de dos factores:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.$

Si $g$ se mueve cerca de a, entonces podría ocurrir que, independientemente de lo cerca que se esté de a, siempre hay un valor x más cercano tal que $g(x)\!$ es igual a $g(a)\!$. Por ejemplo, esto ocurre para g(x) = x²sin(1 / x) alrededor del punto a = 0. Cuando esto ocurre, la expresión de arriba no está definida porque implica una división por cero. Para sortear este inconveniente, se introduce la función $Q\!$ como sigue:

$Q(y)={\begin{cases}{\frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}$

Se mostrará que el cociente incremental para f ∘ g es siempre igual a:

$Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.$

Como quiera que g(x) no es igual a g(a), lo que es claro porque los factores de g(x) − g(a) se cancelan, cuando g(x) es igual a g(a), entonces el cociente incremental para f ∘ g es cero porque f(g(x)) es igual a f(g(a)), y el producto de arriba es cero porque es igual a f′(g(a)) por cero. Así pues, el producto de arriba siempre es igual al cociente incremental y para mostrar que la derivada de f ∘ g en a existe y determinar su valor, solo se necesita que el límite cuando x tiende a a del producto de arriba existe y determina su valor.

Para hacer esto, hay que recordar que el límite de un producto existe, si existe el límite de sus factores. Cuando esto ocurre, el límite del producto de esos factores será igual al producto de los límites de los factores. Los factores en este caso son Q(g(x)) y (g(x) − g(a)) / (x − a). El último es el cociente incremental para g en a, y como g es derivable en a como se supuso, su límite cuando x tiende a a existe y es igual a g′(a).

Para Q(g(x)), nótese que Q está definida donde lo esté f . Más aún, f es derivable en g(a) por hipótesis, así que Q es continua en g(a), por la propia definición de la derivada. La función g es continua en a porque es derivable en a, por consiguiente Q ∘ g es continua en a. Así que el límite cuando x tiende a a existe y es igual a Q(g(a)), o sea f′(g(a)).

Esto muestra que los límites de ambos factores existen y son iguales a f′(g(a)) y g′(a), respectivamente. Por lo tanto, la derivada de f ∘ g en a existe y es igual a f′(g(a))g′(a).​

Ejemplos de aplicación

Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido.

Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena.

Ejemplo algebraico

Por ejemplo si $y=f(u)$ es una función derivable de $u$ y si además $u=g(x)$ es una función derivable de $x$ entonces $y=f(g(x))$ es una función derivable con:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

o también

${\frac {d}{dx}}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Ejemplo 1

$y=\ln {u}\,$

$u=\cos {x}\,$

y queremos calcular:

${\frac {dy}{dx}}\,$

Por un lado tenemos:

${\frac {dy}{du}}={\frac {1}{u}}\,$

y

${\frac {du}{dx}}=-\sin {x}\,$

si:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$

entonces:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{u}}\cdot (-\sin {x})={\frac {-\sin {x}}{u}}={\frac {-\sin {x}}{\cos {x}}}=-\tan {x}$

Si definimos como función de función:

$y=\ln {u}\,$

$u=\cos {x}\,$

resulta que:

$y=\ln({\cos {x}})\,$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos {x}}}\cdot (-\sin {x})={\frac {-\sin {x}}{\cos {x}}}=-\tan {x}$

con el mismo resultado.

Ejemplo 2

Tenemos $f(x)=9\sin ^{16}\left({\frac {x^{2}-6x+9}{x+8}}\right)$ la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

$y=9a;a=b^{16};b=\sin c;c={\frac {x^{2}-6x+9}{x+8}}$, cuyas derivadas serían:

$y'=9;a'=16b^{15};b'=\cos c;c'={\frac {x^{2}+16x-57}{x^{2}+16x+64}}$

Con la regla de la cadena, esto sería:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{da}}\cdot {\frac {da}{db}}\cdot {\frac {db}{dc}}\cdot {\frac {dc}{dx}}$

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

${\frac {dy}{dx}}=y'\cdot a'\cdot b'\cdot c'$

${\frac {dy}{dx}}=9\cdot 16b^{15}\cdot \cos c\cdot {\frac {x^{2}+16x-57}{x^{2}+16x+64}}$

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

${\frac {dy}{dx}}=9\cdot 16\sin ^{15}c\cdot \cos c\cdot {\frac {x^{2}+16x-57}{x^{2}+16x+64}}$

Y luego se obtiene la derivada.

${\frac {dy}{dx}}=9\cdot 16\sin ^{15}{\frac {x^{2}-6x+9}{x+8}}\cdot \cos {\frac {x^{2}-6x+9}{x+8}}\cdot {\frac {x^{2}+16x-57}{x^{2}+16x+64}}$

Derivadas de orden superior

Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}$

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}$

${\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}$

${\frac {d^{4}f}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}$

Véase también

• Derivada
• Campo tensorial

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Chain Rule». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q207455