Fórmula de Faà di Bruno

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

La fórmula de Faà di Bruno es una identidad que generaliza la regla de la cadena a derivadas de orden superior, llamada así en honor al matemático italiano Francesco Faà di Bruno (1825-1888) , aunque él no fue el primero en afirmar o demostrar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) declaró la fórmula en un libro de cálculo,[1] considerada la primera referencia publicada al respecto sobre el tema.[2]

Quizás, la forma más conocida de la fórmula Faa di Bruno dice que:

{d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},

donde la suma es sobre todas las n-tuplas de enteros no negativos (m1, …, mn) que satisfacen la restricción:

1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n.\,.

A veces, para darle un patrón memorable, esta está escrita en una forma en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se discuten a continuación son menos explícitos:

{d^n \over dx^n} f(g(x))
=\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot
f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot
\prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.

Combinando los términos con el mismo valor de m1 + m2 + ... + mn = k y notando que m j tiene que ser cero para j > n − k + 1 proporciona una fórmula algo más sencilla en términos de polinomios de Bell Bn,k(x1,...,xnk+1):

{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).

Referencias[editar]

  1. Arbogast, L.F.A. (1800). Du calcul des derivations. Strasbourg: Levrault. 
  2. Craik, A.D.D. (2005). «Prehistory of Faà di Bruno's Formula». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 112 (2):  pp. 217–234. doi:10.2307/30037410. 

Enlaces externos[editar]