Punto del infinito

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fig.1: La "recta proyectiva real (ℝP1)" con el punto del infinito \textstyle \infty, genera una curva cerrada.

El punto del infinito, punto en el infinito o punto impropio es una entidad topológica y geométrica que se introduce a modo de cierre o frontera infinita del conjunto de los números reales. Cuando se añade a la recta real genera una curva cerrada (véase fig.1) conocida como recta proyectiva real, \mathbb{R}P^1, que no es equivalente a la recta real ampliada, que tiene dos puntos distintos en el infinito.

\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}

Topología T[editar]

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en \overline{\mathbb{R}} la topología \overline{T} formada por todos los conjuntos:

  • A, que son abiertos de \mathbb{R}
  • B, que son complementarios de conjuntos compactos (cerrados y acotados) de \mathbb{R} .

Los conjuntos A son los abiertos de \overline{\mathbb{R}} que no contienen el :\infty mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea x_n\in\mathbb{R} una sucesión de números reales tales que \lim_{n \to \infty}x_n = \infty. Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

\forall K>0\ \exists m\in \mathbb{N} | si\ n>m \Rightarrow x_n \notin [-K,K]

Pero esta misma condición implica en \overline{\mathbb{R}} que

\forall B|\infty\in B \ \exists m\in N | si\ n>m \Rightarrow x_n\in B

Es decir, que en \overline{\mathbb{R}} se escribe también \lim_{n \to \infty}x_n = \infty. Sin embargo, sólo en \overline{\mathbb{R}} se puede decir que la sucesión x_n \, converge, puesto que \infty\notin \mathbb{R}.

En el plano complejo[editar]

Stereographic projection in 3D.png fig.cp1: Proyección estereográfica del plano complejo extendido sobre la "esfera de Riemann".
RiemannKugel.jpg fig.cp2: La "esfera de Riemann" puede ser visualizada como el plano complejo envuelto alrededor de una esfera.

El punto del infinito también puede añadirse al plano complejo, \mathbb{C}^1, de manera que se transforme en una superficie cerrada (véase fig.cp1 y fig.cp2), la recta proyectiva compleja, \mathbb{C}P^1, también llamada esfera de Riemann, una esfera sobre el plano complejo y desde cuyo polo superior se proyectan el resto de puntos de la esfera sobre el plano complejo. De este modo, se establece una biyectividad en la que a cada punto de la esfera le corresponde uno del plano complejo. El homólogo del punto desde el que proyectamos estereográficamente se convierte en el punto del infinito.

Rectas paralelas en ℝ2[editar]

Al igual que dos rectas secantes comparten un punto, dos rectas paralelas comparten una dirección, por lo que a esas direcciones también se las conoce como puntos impropios de esas rectas en las que se encuentran. Por ejemplo, en \mathbb R^2 no es posible determinar con exactitud la posición del punto del infinito mediante unas coordenadas absolutas (x,y) \, . Para conseguirlo, se acude a las coordenadas homogéneas (x', y', w) \, , donde x' \, e y' \, representan la dirección del vector director de la recta. Las anteriores coordenadas absolutas (x, y) \, vienen dadas por:

(x, y) = ({x' \over w}, {y' \over w})

El punto (4, 6) \, podría representarse, por ejemplo, como (8, 12, 2) \, o como (2, 3, \tfrac{1}{2}). La representación del punto del infinito se obtiene igualando w = 0 \, , así:

(x', y', 0) \,

El punto del infinito del eje OX sería el (1, 0, 0) \, , el (2, 0, 0) \, , etc.

Véase también[editar]

Referencias[editar]