Polinomio mínimo

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En matemática, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio mínimo dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

Teoría de cuerpos[editar]

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumple f(α) = 0 es un múltiplo de p.

Álgebra lineal[editar]

En álgebra lineal, el polinomio mínimo de una matriz n-x-n A sobre un cuerpo F es el polinomio mónico p(x) sobre F de menor grado tal que p(A)=0. Cualquier otro polinomio q con q(A) = 0 es un múltiplo de p.

Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

  1. λ∈F es una raíz de p(x),
  2. λ es una raíz del polinomio característico de A,
  3. λ es un valor propio de A.

La multiplicidad de la raíz λ de p(x) es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a λ.

El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz 4I_n, que tiene como polinomio característico (x-4)^n. Sin embargo, el polinomio mínimo es x-4, ya que 4I-4I=0, por lo que son distintos para n\ge 2. El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.