Ley de Grashof

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La Ley de Grashof establece que un mecanismo de cuatro barras tiene al menos una articulación de revolución completa, si y solo si la suma de las longitudes de la barra más corta y la barra más larga es menor o igual que la suma de las longitudes de las barras restantes.

Demostración[editar]

Análisis de una articulación de revolución completa[editar]

Dado un mecanismo cualquiera de cuatro barras ABCD consecutivas, se analizara la articulación AB. Se define \alpha como el ángulo relativo entre las barras A y B, \beta como el ángulo relativo entre C y D, y \delta como la distancia entre las articulaciones BC y AD.

Se sabe que por el teorema del coseno:

 \delta^2 = A^2 + B^2 - 2AB \cos \alpha \quad y \quad \delta^2 = C^2 + D^2 - 2CD \cos \beta

siendo el coseno una función acotada superiormente por uno, se puede afirmar entonces la siguiente inecuación:

 C^2 + D^2 - 2CD \le \delta^2

con el desarrollo del binomio del cuadrado de la resta se deduce (aplicando la raíz cuadrada a ambos términos de la inecuación):

|C-D|\le \delta

Se puede observar también de la llamada desigualdad triangular que:

\delta \le C+D

de ambas se deduce:

|C-D|\le \delta \le C+D

Si se supone que la articulación AB es de revolución completa, entonces

\delta _{min}=|A-B|\ \quad y \quad \delta_{max}=A+B

Finalmente, se obtienen las relaciones necesarias y suficientes para que la articulación AB sea de revolución completa:

|A-B|\ge |C-D|\ \quad y \quad A+B \le C+D.

Análisis de un mecanismo de cuatro barras de longitudes diferentes[editar]

Se toma un mecanismo de cuatro barras I, II, III y IV en cualquier orden tal que

 I > II > III > IV \quad (1) (Los casos particulares se analizan más adelante)

Hipotéticamente existen 6 tipos de articulaciones posibles: I*II, I*III, I*IV, II*III, II*IV y III*IV.

Y de la relación (1) se desprenden:

I+II>III+IV \quad (2)

I+III>II+IV \quad (3)

II-III<I-IV \quad (4)

I*II no es de revolución completa pues (2). Análogamente (3) y (4) impiden que I*III y II*III lo sean.

Analizando la articulación I*IV se nota que es necesario y suficiente que se cumplan (4) y

I+IV<II+III \quad (5)

O equivalentemente

I-III<II-IV \quad (6)

O

I-II<III-IV \quad (7)

Entonces son posibles articulaciones de revolución completa: I*IV, pues (4) y (5); II*IV, pues (3) y (6); y III*IV, pues (2) y (7).

Casos particulares[editar]

I=II \ne III=IV \iff

I+II>III+IV \quad (2')

I+III=II+IV \quad (3')

II-III=I-IV \quad (4')

Y como consecuencia la única articulación que no es de revolución completa es la I*II

análogamente se deduce que si las barras son todas de la misma longitud todas las articulaciones son de revolución completa.

Corolarios[editar]

Si cumple (5) además del teorema se cumple que:

  • Si las barras son todas distintas, entonces solo hay dos articulaciones de revolución completa y articulan a la barra más pequeña.
  • Si las barras son todas iguales, todas las articulaciones son de revolución completa.
  • Si hay un par de barras iguales, y el par de barras más grandes está articulado entre sí, entonces esta es la única articulación de revolución incompleta.

Véase también[editar]