Problema de las ocho reinas

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Movimientos posibles de una reina en un tablero de 4x4

Una posible solución entre muchas en un tablero de 8x8

El problema de las ocho reinas se trata de un acertijo en el que se colocan ocho reinas sin que se amenacen. Fue propuesto por el ajedrecista alemán Max Bezzel en 1848. En el juego de ajedrez la reina amenaza a aquellas fichas que se encuentren en su misma fila, columna o diagonal. Las 8 reinas consiste en colocar sobre un tablero de ajedrez ocho reinas sin que estas se den jaques entre ellas. Para resolver este problema emplearemos un esquema vuelta atrás (o Backtracking).

Contenido

1 Planteamiento del Problema
- 1.1 Establecimiento del Algoritmo
- 1.2 Descripción del Algoritmo
2 El problema de las n Reinas
3 Soluciones al Problema de las Ocho Reinas
4 Referencias
5 Véase también
6 Enlaces externos
- 6.1 Enlaces a Soluciones

[editar] Planteamiento del Problema

Como cada reina puede amenazar a todas las reinas que estén en la misma fila, cada una ha de situarse en una fila diferente. Podemos representar las 8 reinas mediante un vector[1-8], teniendo en cuenta que cada índice del vector representa una fila y el valor una columna. Así cada reina estaría en la posición (i,v[i]) para i = 1-8.

Ejemplo de dos reinas amenazadas en el tablero de 4 por 4

El vector $(3,1,6,2,8,6,4,7)$ significa que la reina 1 esta en la columna 3, fila1; la reina 2 en la columna 1, fila 2; la reina 3 en la columna 6, fila 3; la reina 4 en la columna 2, fila 4; etc... Como se puede apreciar esta solución es incorrecta ya que estarían la reina 3 y la 6 en la misma columna. Por tanto el vector correspondería a una permutación de los ocho primeros números enteros.

El problema de las filas y columnas lo tenemos cubierto, ¿pero qué ocurre con las diagonales? Para las posiciones sobre una misma diagonal descendente se cumple que tienen el mismo valor $f i l a - c o l u m n a$ , mientras que para las posiciones en la misma diagonal ascendente se cumple que tienen el mismo valor $f i l a + c o l u m n a$ . Así, si tenemos dos reinas colocadas en posiciones $(i, j)$ y $(k, l)$ entonces están en la misma diagonal si y solo si cumple:

$i - j = k - l$ o $i + j = k + l$

$j - l = i - k$ o $j - l = k - i$

Con todas las consideraciones tenidas en cuenta podemos aplicar el esquema de vuelta atrás para implementar las ocho reinas de una manera realmente eficiente. Para ello, reformulamos el problema como un problema de búsqueda en un árbol. Decimos que en un vector $V_{1\dots k}$ de enteros entre 1 y 8 es $k$ -prometedor, para $0\leq k\leq8$ , si ninguna de las $k$ reinas colocadas en las posiciones $(1,V_1),(2,V_2),\dots,(k,V_k)$ amenaza a ninguna de las otras. Las soluciones a nuestro problema se corresponden con aquellos vectores que son 8-prometedores.

[editar] Establecimiento del Algoritmo

Sea $N$ el conjunto de vectores de $k$ -prometedores, $0\leq k\leq8$ , sea $G=(N,A)\,$ el grafo dirigido tal que $(U,V)\in A$ si y solo si existe un entero $k$ , con $0\leq k\leq8$ tal que

$U$ es $k$ -prometedor
$V$ es $(k + 1)$ -prometedor
$U i = V i$ para todo $i\in\{1,\dots,k\}$

Este grafo es un árbol. Su raíz es el vector vacío correspondiente a $k = 0$ . sus hojas son o bien soluciones ( $k = 8$ ), o posiciones sin salida ( $k < 8$ ). Las soluciones del problema de las ocho reinas se pueden obtener explorando este árbol. Sin embargo no generamos explícitamente el árbol para explorarlo después. Los nodos se van generando y abandonando en el transcurso de la exploración mediante un recorrido en profundidad.

Esquema reducido del árbol de soluciones

Hay que decidir si un vector es $k$ -prometedor, sabiendo que es una extensión de un vector $(k - 1)$ -prometedor, únicamente necesitamos comprobar la última reina que haya que añadir. Este se puede acelerar si asociamos a cada nodo prometedor el conjunto de columnas, el de diagonales positivas (a 45 grados) y el de diagonales negativas (a 135 grados) controlados por las reinas que ya están puestas.

[editar] Descripción del Algoritmo

A continuación se muestra el algoritmo que arroja la solución de nuestro problema, en el cual $sol_{1\dots8}$ es un vector global. Para imprimir todas las soluciones, la llamada inicial es $\mathrm{reinas}(0,\empty,\empty,\empty)$ .

procedimiento $\mathrm{reinas}(k,col,diag45,diag135)\,$

// $sol_{1\dots k}$ es

k

-prometedor//

// $col = \{sol_i\mid 1\leq i\leq k\}$ //

// $diag45=\{sol_i-i+1\mid1\leq i\leq k\}$ //

// $diag135=\{sol_i+i-1\mid 1\leq i\leq k\}$ //

si $k=8\,$ entonces //un vector

8

-prometedor es una solución//

escribir $sol\,$

si no //explorar las extensiones

(k + 1)

-prometedoras de sol//

para $j\leftarrow 1$ hasta $8\,$ hacer

si $j\notin col$ y $j-k\notin diag45$ y $j+k\notin diag135$ entonces

$sol_{k+1}\leftarrow j$ // $sol_{1\dots k+1}$ es

(k + 1)

-prometedor//

$\mathrm{reinas}\left(k+1,col\cup\{j\},diag45\cup\{j-k\},diag135\cup\{j+k\}\right)$

El algoritmo comprueba primero si $k = 8$ , si esto es cierto resulta que tenemos ante nosotros un vector 8-prometedor, lo cual indica que cumple todas las restricciones originando una solución. Si $k$ es distinto de 8, el algoritmo explora las extensiones $(k + 1)$ -prometedoras, para ello realiza un bucle, el cual va de 1 a 8, debido al número de reinas. En este bucle se comprueba si entran en jaque las reinas colocadas en el tablero, si no entran en jaque, se realiza una recurrencia en la cual incrementamos $k$ (buscamos $(k + 1)$ -prometedor) y añadimos la nueva fila, columna y diagonales al conjunto de restricciones. Al realizar la recurrencia hemos añadido al vector sol una nueva reina la cual no entra en jaque con ninguna de las anteriores, además hemos incrementado el conjunto de restricciones añadiendo una nueva fila, columna y diagonales (una positiva y otra negativa) prohibidas.

[editar] El problema de las n Reinas

El problema de las 8 Reinas es generalizado por el problema de las $n$ Reinas. El problema consiste en colocar $n$ Reinas en un tablero de ajedrez de $n \times n$ de tal manera que ninguna de las Reinas quede atacando a otra.

Su análisis y solución es isomorfo al de las 8 Reinas.

[editar] Soluciones al Problema de las Ocho Reinas

El problema de las ocho reinas tiene 92 soluciones, de las cuales 12 son esencialmente distintas, es decir las 92 soluciones existentes se pueden obtener a partir de simetrías, rotaciones y traslaciones de las 12 soluciones únicas, que se muestran a continuación:

Solución única 1

Solución única 2

Solución única 3

Solución única 4

Solución única 5

Solución única 6

Solución única 7

Solución única 8

Solución única 9

Solución única 10

Solución única 11

Solución única 12

[editar] Referencias

Watkins, John J. (2004). Across the Board: The Mathematics of Chess Problems. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11503-6.
Brassard, Gilles; Bratley, Paul (1997). «Exploración de grafos», Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRENTICE HALL. ISBN 84-89660-00-X.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

[editar] Enlaces a Soluciones

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