Integración de Lebesgue–Stieltjes

En el análisis de la teoría de medidas y otras ramas relacionadas de la matemática, la Integración de Lebesgue–Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann-Stieltjes y la integración de Lebesgue, preservando las muchas ventajas de ambas en un framework más general de teoría de medidas. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como la medida de Lebesgue–Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación finita en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel, y de manera opuesta toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue–Stieltjes, nombradas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes, son también conocidas como las integrales de Lebesgue–Radon o simplemente integrales de Radon, debido a Johann Radon, a quien se debe mucha de la teoría. Ellos encontraron aplicaciones en común entre las probabilidades y los procesos estocásticos, y en ciertas ramas del análisis matemático incluyendo la teoría del potencial.

Definición

La integral de Lebesgue–Stieltjes: $\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$ es definida cuando ƒ : [a,b] → R es Borel-medible y finita y g : [a,b] → R es de variación finita en [a,b] y continua por la derecha, o cuando ƒ es no negativa y g es monótona y continua por la derecha. Para empezar, se asume que ƒ es no negativa y que g es monótona no decreciente y continua por la derecha. Se define w((s,t]) := g(t) − g(s) y w({a}) := 0 (Alternativamente, la construcción funciona para g continua por la izuierda, w([s,t)) := g(t) − g(s) and w({b}) := 0).

Por el Teorema de Carathéodory, existe una única medida de Borel μ_g en [a,b] que concuerde con w en cada intervalo I. La medida μ_g surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica) dada por

$\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\right\vert \left.E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}$

el ínfimo entre todas las coberturas de E por los distintos intervalos semiabiertos. Esta medida es llamada comúnmente como​ la medida Lebesgue–Stieltjes asociada a g.

La integral de Lebesgue–Stieltjes

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

puede ser definida como la integral de Lebesgue de ƒ con respecto a la medida μ_g en la manera usual. Si g es no decreciente, entonces se define

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),$

siendo la última integral definida por la construcción precedente.

Si g es de variación finita y ƒ es finita, entonces es posible plantear

$dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)$

donde g₁(x) := Vx
ag es la variación total deg en el intervalo [a,x], y g₂(x) = g₁(x) − g(x). Tanto g₁ como g₂ son monótonas no decrecientes. Ahora la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a g es definida por

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),$

donde las dos últimas integrales están bien definidas dada la construcción precedente.

Integral de Daniell

Una aproximación alternativa (Hewitt y Stromberg, 1965) es definir la integral de Lebesgue–Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral usual de Riemann–Stieltjes. Sea g una función no ascendente continua por la derecha en [a,b], y I(ƒ) la integral de Riemann–Stieltjes

$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

para toda función continua ƒ. La operación I define una medida de Radon sobre [a,b]. Esta operación puede ser extendida a la clase de todas las funciones no negativas definiendo

${\overline {I}}(h)=\sup\{I(f)|f\in C[a,b],0\leq f\leq h\}$

y

${\overline {\overline {I}}}(h)=\inf\{I(f)|f\in C[a,b],h\leq f\}.$

Para funciones medibles por Borel, se tiene

${\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),$

y ambos lados de la indentidad definen la integral de Lebesgue–Stieltjes

de h. La medida externa μ_g es definida a partir de

$\mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})$

donde χ_A es la función característica de A.

Integradores de variación finita son manejados de igual forma a la anterior, descomponiendo en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo

Suponga que $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ es una curva corregible en el plano y $\rho :\mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )$ es Borel-medible. Entonces se puede definir la longitud de $\gamma$ con respecto a la métrica euclidiana medida por $\rho$ como $\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t)$, donde $\ell (t)$ es la longitud de la restricción de $\gamma$ para $[a,t]$. Esta es comúnmente llamada la $\rho$-medida de $\gamma$. Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terrenos lodosos la velocidad en que una persona se puede mover depende de la profundidad del lodo. Si $\rho (z)$ denota la inversa de la velocidad en o cerca de $z$, entonces la $\rho$-longitud de $\gamma$ es el tiempo que tomaría cruzar $\gamma$. El concepto de longitud extrema usa esta noción de $\rho$-longitud de curvas y es útil en el análisis de transformaciones conformes.

Integración por partes

Una función $f$ se considera "regular" en un punto $a$ si existen los límites derecho $f(a+)$ e izquierdo $f(a-)$, y la función toma el valor promedio,

$f(a)={\frac {1}{2}}\left(f(a-)+f(a+)\right),$

en el punto límite. Dada las funciones $U$ y $V$ de variación finita, si en cada punto $U$ o $V$ es continua, si ambas $U$ y $V$ son regulares, estonces existe una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue–Stieltjes:

$\int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),$

donde $b>a$. Bajo una pequeña generalización de esta fórmula, la condiciones extras en $U$ t $V$ pueden ser eliminadas.​

Un resultado alternativo, de significativa importancia en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones

$U$ y $V$ de variación finita, donde ambas son continuas por la derecha y tienen límite izquierdo (son funciones 'cadlag') entonces

$U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},$

donde$\Delta U_{t}=U(t)-U(t-)$. Este resultado puede ser visto como un precursor del Lema de Itō, y es de uso en la teoría general de integración estocástica. El término final es $\Delta U(t)\Delta V(t)=d[U,V]$, que surge de una covarianza cuadrada de $U$ y $V$. (El resultado anterior puede ser visto entonces como un resultado relativo a la integral de Stratonovich.)

Conceptos relacionados

Integración de Lebesgue

Cuando g(x) = x para todo número real x, entonces μ_g es la medida de Lebesgue, y la integral de Lebesgue–Stieltjes de f con respecto a g es equivalente a la integral de Lebesgue de f.

Integración de Riemann–Stieltjes y teoría de probabilidades

Cuando f es una función continua con valores reales de una variable real, y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue–Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes, en cuyo caso usualmente se escribe

$\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)$

para la integral de Lebesgue–Stieltjes, manteniendo implícita la medida μ_v. Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando v es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, en cuyo caso

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].$

(Ver el artículo integral de Riemann-Stieltjes para mayor información acerca del tratamiento de estos detalles.)

Referencias

• Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9 .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag ..
• Saks, Stanislaw (1937) Theory of the Integral.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.