Integración de Lebesgue–Stieltjes

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En el análisis de la teoría de medidas y otras ramas relacionadas de la matemática, la Integración de Lebesgue–Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann-Stieltjes y la integración de Lebesgue, preservando las muchas ventajas de ambas en un framework más general de teoría de medidas. La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral ordinaria de Lebesgue respecto a una medida conocida como la medida de Lebesgue–Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación finita en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida regular de Borel, y de manera opuesta toda medida regular de Borel en la línea real es de este tipo.

Las integrales de Lebesgue–Stieltjes, nombradas así por Henri Leon Lebesgue y Thomas Joannes Stieltjes, son también conocidas como las integrales de Lebesgue–Radon o simplemente integrales de Radon, debido a Johann Radon, a quien se debe mucha de la teoría. Ellos encontraron aplicaciones en común entre las probabilidades y los procesos estocásticos, y en ciertas ramas del análisis matemático incluyendo la teoría del potencial.

Definición[editar]

La integral de Lebesgue–Stieltjes: \int_a^b f(x)\,dg(x) es definida cuando ƒ : [a,b] → R es Borel-medible y finita y g : [a,b] → R es de variación finita en [a,b] y continua por la derecha, o cuando ƒ es no negativa y g es monótona y continua por la derecha. Para empezar, se asume que ƒ es no negativa y que g es monótona no decreciente y continua por la derecha. Se define w((s,t]) := g(t) − g(s) y w({a}) := 0 (Alternativamente, la construcción funciona para g continua por la izuierda, w([s,t)) := g(t) − g(s) and w({b}) := 0).

Por el Teorema de Carathéodory, existe una única medida de Borel μg en [a,b] que concuerde con w en cada intervalo I. La medida μg surge de una medida exterior (de hecho, una medida exterior métrica) dada por

\mu_g(E) = \inf\left\{\sum_i \mu_g(I_i) \right\vert \left. 
E\subset \bigcup_i I_i \right\}

el ínfimo entre todas las coberturas de E por los distintos intervalos semiabiertos. Esta medida es llamada comúnmente como[1] la medida Lebesgue–Stieltjes asociada a g.

La integral de Lebesgue–Stieltjes

\int_a^b f(x)\,dg(x)

puede ser definida como la integral de Lebesgue de ƒ con respecto a la medida μg en la manera usual. Si g es no decreciente, entonces se define

\int_a^b f(x)\,dg(x) := -\int_a^b f(x) \,d 
(-g)(x),

siendo la última integral definida por la construcción precedente.

Si g es de variación finita y ƒ es finita, entonces es posible plantear

dg(x)=dg_1(x)-dg_2(x)

donde g1(x) := Vx
a
g
es la variación total deg en el intervalo [a,x], y g2(x) = g1(x) − g(x). Tanto g1 como g2 son monótonas no decrecientes. Ahora la integral de Lebesgue–Stieltjes con respecto a g es definida por

\int_a^b f(x)\,dg(x) = \int_a^b f(x)\,dg_1(x)-\int_a^b f(x)\,dg_2(x),

donde las dos últimas integrales están bien definidas dada la construcción precedente.

Integral de Daniell[editar]

Una aproximación alternativa (Hewitt y Stromberg, 1965) es definir la integral de Lebesgue–Stieltjes como la integral de Daniell que extiende la integral usual de Riemann–Stieltjes. Sea g una función no ascendente continua por la derecha en [a,b], y I(ƒ) la integral de Riemann–Stieltjes

I(f) = \int_a^b f(x)\,dg(x)

para toda función continua ƒ. La operación I define una medida de Radon sobre [a,b]. Esta operación puede ser extendida a la clase de todas las funciones no negativas definiendo

\overline{I}(h) = \sup \{I(f) | f\in C[a,b], 0\le f\le 
h\}

y

\overline{\overline{I}}(h) = \inf\{I(f) | f\in C[a,b], h\le
 f\}.

Para funciones medibles por Borel, se tiene

\overline{I}(h) = \overline{\overline{I}}(h),

y ambos lados de la indentidad definen la integral de Lebesgue–Stieltjes

de h. La medida externa μg es definida a partir de

\mu_g(A) = \overline{\overline{I}}(\chi_A)

donde χA es la función característica de A.

Integradores de variación finita son manejados de igual forma a la anterior, descomponiendo en variaciones positivas y negativas.

Ejemplo[editar]

Suponga que \gamma:[a,b]\to\R^2 es una curva corregible en el plano y \rho:\R^2\to[0,\infty) es Borel-medible. Entonces se puede definir la longitud de \gamma con respecto a la métrica euclidiana medida por \rho como \int_a^b 
\rho(\gamma(t))\,d\ell(t), donde \ell(t) es la longitud de la restricción de \gamma para [a,t]. Esta es comúnmente llamada la \rho-medida de \gamma. Esta noción es bastante útil para varias aplicaciones: por ejemplo, en terrenos lodosos la velocidad en que una persona se puede mover depende de la profundidad del lodo. Si \rho(z) denota la inversa de la velocidad en o cerca de z, entonces la \rho-longitud de \gamma es el tiempo que tomaría cruzar \gamma. El concepto de longitud extrema usa esta noción de \rho-longitud de curvas y es útil en el análisis de transformaciones conformes.

Integración por partes[editar]

Una función f se considera "regular" en un punto a si existen los límites derecho f(a+) e izquierdo f(a-), y la función toma el valor promedio,

f(a)=\frac{1}{2}\left(f(a-)+f(a+)\right),

en el punto límite. Dada las funciones U y V de variación finita, si en cada punto U o V es continua, si ambas U y V son regulares, estonces existe una fórmula de integración por partes para la integral de Lebesgue–Stieltjes:

\int_a^b U\,dV+\int_a^b 
V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),

donde b>a. Bajo una pequeña generalización de esta fórmula, la condiciones extras en U t V pueden ser eliminadas.[2]

Un resultado alternativo, de significativa importancia en la teoría del cálculo estocástico es el siguiente: dadas dos funciones

U y V de variación finita, donde ambas son continuas por la derecha y tienen límite izquierdo (son funciones 'cadlag') entonces

U(t)V(t) = U(0)V(0) + \int_{(0,t]} 
U(s-)\,dV(s)+\int_{(0,t]} V(s-)\,dU(s)+\sum_{u\in (0,t]} \Delta U_u 
\Delta V_u,

donde\Delta U_t= U(t)-U(t-). Este resultado puede ser visto como un precursor del Lema de Itō, y es de uso en la teoría general de integración estocástica. El término final es \Delta 
U(t)\Delta V(t)= d[U,V], que surge de una covarianza cuadrada de U y  V 
. (El resultado anterior puede ser visto entonces como un resultado relativo a la integral de Stratonovich.)

Conceptos relacionados[editar]

Integración de Lebesgue[editar]

Cuando g(x) = x para todo número real x, entonces μg es la medida de Lebesgue, y la integral de Lebesgue–Stieltjes de f con respecto a g es equivalente a la integral de Lebesgue de f.

Integración de Riemann–Stieltjes y teoría de probabilidades[editar]

Cuando f es una función continua con valores reales de una variable real, y v es una función real no decreciente, la integral de Lebesgue–Stieltjes es equivalente a la integral de Riemann-Stieltjes, en cuyo caso usualmente se escribe

\int_a^b f(x) \, dv(x)

para la integral de Lebesgue–Stieltjes, manteniendo implícita la medida μv. Esto es particularmente común en la teoría de la probabilidad cuando v es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X, en cuyo caso

\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dv(x) = 
\mathrm{E}[f(X)].

(Ver el artículo integral de Riemann-Stieltjes para mayor información acerca del tratamiento de estos detalles.)

Notas[editar]

  1. Halmos (1974), Sec. 15
  2. {{cite journal |last=Hewitt |first=Edwin |year=1960 |month=5 |title=Integration by Parts for Stieltjes Integrals |journal=The American Mathematical Monthly |volume=67 |issue=5 |pages=419–423 |jstor=2309287 |doi=10.2307/2309287 }}

Referencias[editar]