Grado (teoría de grafos)

Un grafo con vértices etiquetados según su grado. El *vértice aislado* se etiqueta con 0, pues no es adyacente a ningún nodo.

En Teoría de grafos, el grado o valencia de un vértice es el número de aristas incidentes al vértice. El grado de un vértice x es denotado por grado(x), g(x) o gr(x) (aunque también se usa δ(x), y del inglés d(x) y deg(x)). El grado máximo de un grafo G es denotado por Δ(G) y el grado mínimo de un grafo G es denotado por δ(G).

Vecindad de un vértice

Artículo principal: Vecindad (teoría de grafos)

Otra forma de definir el grado de un vértice es a través de su vecindad. La vecindad de un vértice x , denotado como $N(x)\,$ está dado por todos los vértices adyacentes a x.

N(x)=\{y\in V_{G}|\{x,y\}\in E_{G}\}

de modo que el grado del vértice x es el número de vecinos que tiene: $g(x)=|N(x)|\,$ .

Lema del apretón de manos

La fórmula de la sumatoria de grados, que relaciona la valencia de los vértices con el número de aristas es conocida como Lema del apretón de manos:

Lema del apretón de manos. La suma de los grados de un grafo $G(V,E)\,$ es igual al doble del número de aristas:

$\sum _{v\in V}g(v)=2|E|\,$

Euler (1736)^[1]

Su demostración es una prueba del doble conteo, esto porque, como cada arista tiene dos vértices extremos, es contada dos veces en las valencias de estos.

Algunas implicaciones del Lema del apretón de manos son:

En un grafo siempre hay un número par de vértices de grado impar.
No puede existir un grafo r-regular de s vértices si r y s son impares.
El número de aristas de un grafo k-regular es ${\frac {nk}{2}}$ , y por ende, el número de aristas de un grafo completo de n vértices es ${\frac {n(n-1)}{2}}$

Grafos dirigidos

Un grafo dirigido con vértices $i$ etiquetados como $(g^{-}(i),g^{+}(i))$ .

{\displaystyle i} — Un grafo dirigido con vértices $i$ etiquetados como $(g^{-}(i),g^{+}(i))$ .

En el caso de los grafos dirigidos o dígrafos, se suele distinguir entre grado de entrada $g^{+}(x)\,$ , como el número de aristas que tiene al vértice x como vértice final, y grado de salida $g^{-}(x)\,$ , como el número de aristas que tiene al vértice x como vértice inicial, de forma que $g(x)=g^{+}(x)+g^{-}(x)\,$ .

El Lema del apretón de manos también es cierto en los grafos dirigidos. Para ello hay que distinguir para cada nodo entre grados de entrada y de salida. Por lo tanto, el Lema se expresa del siguiente modo:

\sum _{v\in V}g^{+}(v)=\sum _{v\in V}g^{-}(v)=|E|\,

Secuencia de grados

Artículo principal: Secuencia de grados

Una secuencia de grados o lista de grados de un grafo no dirigido es una secuencia de números, los cuales son grados de los vértices de algún grafo. Para el grafo de la primera imagen su secuencia de enteros es (3, 3, 3, 2, 2, 1, 0). La lista de grados es un invariante (topológica) de un grafo, aunque dos grafos con igual lista de grados no son necesariamente isomorfos.

Un problema interesante es determinar si una secuencia de enteros no negativos cualquiera es o no gráfica, es decir, es una secuencia de grados de un grafo (simple). Erdős y Gallai^[2] (1960) resuelven el problema con su teorema de existencia, mientras que Havel^[3] (1955) y Hakimi^[4] (1962) nos entregan un teorema de construcción que justifica el Algoritmo Havel-Hakimi para construir un grafo a partir de una secuencia de grados.

Teorema de Erdős-Callai. La secuencia de enteros $d_{i}\,$ con $i=1,...,n\,$ es una secuencia de grados de un grafo simple, si y sólo si:

La suma de los enteros de la secuencia es par, y

$\sum _{i=1}^{k}d_{i}\leq k(k-1)+\sum _{i=k+1}^{n}\min(d_{i},k)$ para $k\leq n-1$

Teorema de Havel-Hakimi. Una secuencia de enteros $d_{1}\geq d_{2}\geq ...\geq d_{v}\geq 0$ es gráfica sí, y sólo sí también lo es la lista: $d_{2}-1,d_{3}-1,...,d_{d_{1}+1}-1,d_{d_{1}+2},...,d_{v}$ , que resulta de eliminar el primer elemento y restar una unidad a los siguientes $d_{1}$ valores de la lista.

Valores especiales

Un vértice con grado 0 se llama vértice aislado. Un grafo formado por vértices aislados se llama grafo vacío
En un árbol, el vértice de grado 1 se llama hoja y forma parte del grupo de los vértices terminales.

Propiedades globales

Si cada vértice de un grafo cualquiera tiene grado k, entonces el grafo es llamado grafo regular de grado k.
Un grafo simple conexo contiene un camino Euleriano si, y sólo si el grafo contiene 0 ó 2 vértices de grado impar. Si el grafo no tiene vértices de grado impar entonces contiene un ciclo Euleriano.
Por el Teorema de Brooks el número cromático de un grafo G que no es un grafo completo ni un ciclo de longitud impar es a lo sumo: $\chi (G)\leq \Delta$ , y por el Teorema de Vizing todo grafo tiene índice cromático a lo más $\Delta +1$

Véase también

Distribución de grado

Referencias

↑ Euler, L. (1736). «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis». Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8. 128-140.
↑ Erdős, P. ; Gallai, T. (1960). «Graphs with prescribed degree of vertices». Mat. Lapok 11. 264–274..
↑ Havel, V. (1955). «A remark on the existence of finite graphs.». Časopis Pest. Mat. 80. 477–480..
↑ Hakimi, S.L. (1962). «On the realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a simple graph». J. SIAM Appl. Math 10. 496–506..

Datos: Q383444

[1] Euler, L. (1736). «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis». Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8. 128-140.

[2] Erdős, P. ; Gallai, T. (1960). «Graphs with prescribed degree of vertices». Mat. Lapok 11. 264–274..

[3] Havel, V. (1955). «A remark on the existence of finite graphs.». Časopis Pest. Mat. 80. 477–480..

[4] Hakimi, S.L. (1962). «On the realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a simple graph». J. SIAM Appl. Math 10. 496–506..

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