Coloración de grafos

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El coloreo, coloración o coloreado de grafos es uno de los problemas más interesantes de la teoría de grafos. El objetivo de este problema consiste en asignar distintos colores (o números enteros) a los vértices de un grafo, de manera que ningún par de vértices adyacentes compartan el mismo color (o número). El problema puede plantearse también para aristas o para caras de la inmersión plana de un grafo, siendo el desarrollo muy similar al coloreo de vértices.

[editar] Número cromático

Un grafo se denomina k-coloreado si puede colorearse con k colores distintos. Es decir, si existe una asignación de k colores diferentes que permitan un coloreo válido de un grafo G. Se llama coloreo válido al que cumple la propiedad de no asignar el mismo color a un par de vértices adyacentes.

El número cromático de un grafo es el menor número natural k entre todos los valores posibles que permiten k-colorear un grafo. Se denomina a este valor $Χ(G)$ .

[editar] Teoremas

Ejemplo de mapa coloreado con cuatro colores.

Existe un teorema fundamental de esta teoría, denominado teorema de los cuatro colores que afirma que todo grafo plano puede colorearse con, a lo sumo, cuatro colores distintos.

[editar] Propiedades

Entre las propiedades del número cromático, se pueden mencionar las siguientes:

Para un grafo completo $K_n \,$ , $\Chi{(K_{n})} = n \,$ . Esto se puede ver intuitivamente, ya que un grafo completo tiene todos sus nodos conectados entre sí, es decir, $\forall u, v \in V_G \Rightarrow (u,v) \in E_G \,$

Por lo tanto, como un coloreo válido obliga a que dos nodos adyacentes tengan colores distintos, se necesitan n colores distintos para formar un coloreo válido de G, y este es el menor número posible. Luego, $\Chi{(G)} = n \,$

Si G es un ciclo de longitud par, entonces $\Chi{(G)} = 2 \,$
Si G es un ciclo de longitud impar, entonces $\Chi{(G)} = 3 \,$
Para todo grafo G, $\Chi{(G)} \ge \omega{(G)}$ , donde $\omega{(G)} \,$ corresponde al valor de la cliqué de mayor orden de un grafo.
Para todo grafo G, $\Chi{(G)} \le \Delta{(G)}$ ó $\Chi{(G)} \le \Delta{(G)} + 1$ , donde $\Delta{(G)} \,$ es el máximo entre los grados de todos los nodos (es decir, el grado máximo).