Secuencia de grados

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Dos grafos no isomorfos pero con igual secuencia de grados (3,2,2,2,2,1,1,1).

En el campo matemático de la teoría de grafos, una secuencia de grados también llamada sucesión gráfica o lista de grados de un grafo no dirigido es una secuencia de números, los cuales son grados de los vértices del grafo.

La lista de grados es un invariante (topológico) de un grafo, aunque dos grafos con igual lista de grados no son necesariamente isomorfos.

Grafo G(V,A) Conjuntos Secuencia de grados
6n-graph2.svg V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

A = { {1,1}, {1,2}, {1,5}, {2,3}, {2,5}, {3,4}, {4,5}, {4,6} }

(4,3,3,3,2,1)

Problema de la secuencia de enteros gráfica[editar]

Grafos simples[editar]

Un problema interesante es determinar si una secuencia de enteros no negativos cualquiera es o no gráfica, es decir, es una secuencia de grados de un grafo (simple). Erdős y Gallai[1] en 1960 resuelven el problema con su teorema de existencia:

Teorema de Erdős-Gallai

La secuencia de enteros d_i \, con i=1,...,n-1 \, es una secuencia de grados de un grafo simple, si y sólo si:

  • La suma de los enteros de la secuencia es par, y
  • \sum_{i=1}^{k}d_i \leq k(k-1) + \sum_{i=k+1}^n  \min(d_i,k)

Mientras que Havel[2] en 1955 y Hakimi[3] en 1962 nos entregan un teorema de construcción que justifica el Algoritmo Havel-Hakimi para construir un grafo a partir de una secuencia de grados.

Teorema de Havel-Hakimi

Una secuencia de enteros d_1 \geq d_2 \geq ... \geq d_v \geq 0 es gráfica sí, y sólo sí también lo es la lista: d_{2}-1, d_{3}-1, ..., d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, ... , d_v, que resulta de eliminar el primer elemento y restar una unidad a los siguientes d_{1} valores de la lista.

Multigrafos[editar]

El problema de la secuencia de enteros gráfica para multigrafos o pseudografos es: dada una secuencia de enteros no negativos, determinar si es o no (multi)gráfica, es decir, es una secuencia de grados de un psedugrafo o multigrafo. Hakimi en 1962, nos entrega un resultado:

Teorema de Hakimi

Una secuencia de enteros d_1 \geq d_2 \geq ... \geq d_n  donde n \geq 2 es multigráfica (o pseudográfica) sí, y sólo sí la suma \sum_{i=1}^{k}d_i es par y d_1 \geq d_2 + ... + d_n  .

Referencias[editar]

  1. Erdős, P. ; Gallai, T. (1960). «Graphs with prescribed degree of vertices». Mat. Lapok 11. 264–274.. 
  2. Havel, V. (1955). «A remark on the existence of finite graphs.». Časopis Pest. Mat. 80. 477–480.. 
  3. Hakimi, S.L. (1962). «On the realizability of a set of integers as degrees of the vertices of a simple graph». J. SIAM Appl. Math 10. 496–506..