Función lipschitziana

En matemática, una función f : M → N entre espacios métricos (M,d_M) y (N,d_N) se dice que es lipschitziana (o se dice que satisface una condición de Lipschitz o que es Lipschitz continua) si existe una constante K > 0 tal que:​

$d_{N}(f(x),f(y))\leq Kd_{M}(x,y),\ \forall x,y\in M$

En tal caso, K es llamada la constante Lipschitz de la función. El nombre viene del matemático alemán Rudolf Lipschitz. Para funciones definidas sobre espacios euclídeos la relación anterior puede escribirse:

$\|f(x)-f(y)\|\leq K\|x-y\|,\ \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n},\qquad f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$

Características y resultados principales

• Toda función Lipschitz continua es uniformemente continua y por tanto continua.

• Las funciones Lipschitz continuas con constante Lipschitz K = 1 son llamadas funciones cortas y con K < 1 reciben el nombre de contracciones. Estas últimas son las que permiten aplicar el teorema del punto fijo de Banach.
• La condición de Lipschitz es una hipótesis importante para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para las ecuaciones diferenciales ordinarias. La condición de continuidad de la función por sí sola asegura la existencia de soluciones (Teorema de Peano),​ pero para poder confirmar también la unicidad de la solución es necesario considerar también la condición de Lipschitz (Teorema de Picard-Lindelöf).

• Si U es un subconjunto del espacio métrico M y f : U → R es una función Lipschitz continua a valores reales, entonces siempre existe una función Lipschitz continua M → R que extiende f y tiene la misma constante Lipschitz que f.(ver también teorema de Kirszbraun).

• Una función Lipschitz continua f : I → R, donde I es un intervalo en R, es diferenciable casi en todas partes (siempre excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero). Además, si K es la constante Lipschitz de f, entonces |(f')(x)| ≤ K toda vez que la derivada exista. Recíprocamente, si f : I → R es una función diferenciable con derivada acotada, |(f')(x)| ≤ L para toda x en I, entonces f es Lipschitz continua con constante Lipschitz K ≥ L, como consecuencia del teorema del valor medio.

Definiciones relacionadas

Estas definiciones se requieren en el Teorema de Picard-Lindelöf y en resultados relacionados con él.

• Localidad Lipschitz: Dados M, N, espacios métricos, se dice que una función $f:M\longrightarrow N$ es localmente lipschitz si para todo punto de M existe un entorno donde la función cumple la condición Lipschitz.
• Función Lipschitz respecto una variable: Dados M, N, L espacios métricos, se dice que una función ${\begin{matrix}f:M\times N\to L\\(t,x)\mapsto f(t,x)\end{matrix}}$ es localmente Lipschitz respecto $x$ si cumple la condición Lipschitz para puntos de N.

Ejemplos

Sea $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ Lipchitz continua, particularizando para una función lineal del tipo $f(x)=ax+b$, basta tomar $\delta ={\frac {\varepsilon }{|a|}}$ y se demuestra. De paso se obtiene la continuidad uniforme.