En matemáticas, la función indicatriz o función característica de un subconjuntoes una función definida en el conjunto, y que indica la pertenencia, o no, de cada elemento de al subconjunto, al asignar el valor 1 a todos los elementos de y el valor 0 a todos los elementos de (no incluidos en ).
Definición
La función indicatriz del subconjunto del conjunto es una función
definida como
El corchete de Iverson permite una notación equivalente, , que puede usarse en lugar de
La función en ocasiones se expresa o o incluso . (La letra se usa porque es la letra inicial de la palabra característica en griego.)
Propiedades básicas
La functión indicatriz o característica de un subconjunto de un conjunto , asocia elementos de al conjunto .
La correspondencia es sobreyectiva solo cuando es un subconjunto propio de . Si , entonces . Por un argumento similar, si entonces .
En lo siguiente, el punto representa multiplicación, 1·1 = 1, 1·0 = 0 etc. "+" y "−" representan suma y resta. "" y "" son intersección y unión respectivamente.
Pero si tomamos como el anillo con sus operaciones de suma y producto habituales, entonces:
(intersección de conjuntos)
(diferencia simétrica de conjuntos)
mostrando que la función que asigna a cada subconjunto del conjunto potencia de su función característica es un isomorfismo de anillos entre el conjunto potencia de (con la intersección y la diferencia simétrica de conjuntos como producto y suma respectivamente) y el conjunto de las funciones de en con la suma y producto de funciones definidas por las operaciones dentro del anillo punto a punto sobre todo .
Continuando con el complemento de conjuntos, y generalizando: supongamos que es una colección de subconjuntos de ; si denotamos como el conjunto de índices, entonces:
, para todo .
es claramente un producto de s y s. Este producto vale 1 precisamente para los que no pertenecen a ninguno de los conjuntos y en caso contrario. Esto es,
Expandiendo el producto del lado izquierdo,
donde es la cardinalidad de . Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión.