Función homogénea

En matemática, una función homogénea es una función que presenta un comportamiento multiplicativo de escala interesante: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (ver #Definición formal).

Definición formal

Supongamos una función cuya definción es $f:V\rightarrow W$ entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $F$. Entonces se dice que $f\,$ es homogénea de grado k si:

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} ),\qquad \forall \alpha \in F\neq 0,\quad \forall \mathbf {v} \in V$

Ejemplos

Las funciones lineales

Cualquier función lineal $f:V\rightarrow W\,$ es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$

para todo $\alpha \in F$ y $\mathbf {v} \in V\qquad \qquad$. Del mismo modo, cualquier función multilineal $f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W\qquad \qquad$ es homogénea de grado n, por definción.

$f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$

para todo $\alpha \in F$ y $\mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}$. Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función $f:X\rightarrow Y$ entre dos espacios de Banach $X\,$ y $Y\,$ es homogénea de grado $n\,$.

Polinomios homogéneos

Los monomios es $n$ variables reales definen funciones homogéneas$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$. Por ejemplo,

$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,$

es homogénea de grado 10 puesto que:

$(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}\,$

Un polinomio homogéneo es un polinomio hecho de una suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo,

$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,$

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades

• El teorema de Euler sobre funciones homogéneas establece:

Supongamos que una función $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si: $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad$.

• Supongamos que $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden $\partial f/\partial x_{i}$ son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ y diferenciado la ecuación

$f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )$

Definiendo $x_{i}=\alpha y_{i}\,$ y derivando con respecto a $y_{i}\,$, encontramos por la regla de la cadena que:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(\alpha y_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(y_{i})$

Y por tanto:

$\alpha {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )$

Y finalmente:

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )$

Aplicación a las EDOs

La substitución $v=y/x$ convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$

Donde $I\,$ y $J\,$ son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v$

Referencia

Bibliografía

• Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en german). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enlaces externos

• Función homogénea en Planet Math