Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.

Enunciado

Una función $f=f(x,y,z) \,$ se dice función homogénea de grado n si para cualquier valor arbitrario $\lambda\,$:

$f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda^n f(x,y,z)\,$

Si una función $\scriptstyle f=f(x,y,z)$ es una función homogénea de grado n podemos afirmar que:

$x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}=nf$

Es decir, de manera más simplificada:

$\sum_{i=1}^n x_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=nf$

Demostración

Escribiendo $\scriptstyle f=f(x_1,\ldots,x_n)$ y $\scriptstyle \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ diferenciado la ecuación

$f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})$

con respecto a $\alpha\,$, encontramos aplicando la regla de la cadena que

$\frac{\part f(\alpha \mathbf{x})}{\part \alpha} = \frac{\part }{\part \alpha} \left( \alpha^k f(\mathbf{x}) \right) \qquad \Rightarrow$

$\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_1)+ \cdots + \frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{x})$

Así que:

$x_1\frac{\part}{\part x_1}f(\alpha \mathbf{x})+ \cdots + x_n\frac{\part}{\part x_n}f(\alpha\mathbf{x}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{x})$

La anterior ecuación puede reescribirse como:

$\mathbf{x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{x}) = k \alpha^{k-1}f(\mathbf{x}), \qquad\qquad \nabla= \left(\frac{\part}{\part x_1},\ldots, \frac{\part}{\part x_n} \right)$,

de donde el resultado de partida se obtiene ajustando $\alpha = 1$

Para una demostración del contrarrecíproco, ver [1].

• Supongamos que $f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}$ es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas paraciales de primer orden $\partial f/\partial x_i$ son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo $f=f(x_1,\ldots,x_n)$ y diferenciado la ecuación

$f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})$

con respecto a $x_i\,$, encontramos por la regla de la cadena que:

$\frac{\part}{\part x_i}f(\alpha\mathbf{x}) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(\alpha x_i) = \alpha ^k \frac{\part}{\part x_i}f(\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(x_i)$

Y por tanto:

$\alpha\frac{\part}{\part x_i}f(\alpha\mathbf{x}) = \alpha ^k \frac{\part}{\part x_i}f(\mathbf{x})$

Y finalmente:

$\frac{\part}{\part x_i}f(\alpha\mathbf{x}) = \alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})$

Aplicaciones del teorema

Aplicaciones en Termodinámica

Si la función de estado termodinámica es:

• Homogénea de grado 1: función de variables extensivas : $\sum_{i=1}^n x_i \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=f$
• Homogénea de grado 0: función de variables intensivas : $\sum_{i=1}^n x_i \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=0$

Bibliografía

• Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
• Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España