Teorema de Euler sobre funciones homogéneas

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El teorema de Euler sobre funciones homogéneas, es una caracterización de las funciones homogéneas.

Enunciado[editar]

Una función  f=f(x,y,z) \, se dice función homogénea de grado n si para cualquier valor arbitrario \lambda\,:

f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)=\lambda^n f(x,y,z)\,

Si una función \scriptstyle f=f(x,y,z) es una función homogénea de grado n podemos afirmar que:
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z  \frac{\partial f}{\partial z}=nf
Es decir, de manera más simplificada:
 \sum_{i=1}^n x_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=nf

Demostración[editar]

Escribiendo \scriptstyle f=f(x_1,\ldots,x_n) y \scriptstyle \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) diferenciado la ecuación

f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})

con respecto a \alpha\,, encontramos aplicando la regla de la cadena que

\frac{\part f(\alpha \mathbf{x})}{\part \alpha} =
\frac{\part }{\part \alpha} \left( \alpha^k f(\mathbf{x}) \right) \qquad \Rightarrow
\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_1)+ \cdots +
\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha x_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{x})

Así que:

x_1\frac{\part}{\part x_1}f(\alpha \mathbf{x})+ \cdots
+ x_n\frac{\part}{\part x_n}f(\alpha\mathbf{x}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{x})

La anterior ecuación puede reescribirse como:

 \mathbf{x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{x}) = k \alpha^{k-1}f(\mathbf{x}), \qquad\qquad \nabla= \left(\frac{\part}{\part x_1},\ldots, \frac{\part}{\part x_n} \right),

de donde el resultado de partida se obtiene ajustando \alpha = 1

Para una demostración del contrarrecíproco, ver [1].

  • Supongamos que  f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R} es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas paraciales de primer orden \partial f/\partial x_i son funciones homogéneas de grado k-1.

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler. Escribiendo f=f(x_1,\ldots,x_n) y diferenciado la ecuación

f(\alpha \mathbf{x})=\alpha^k f(\mathbf{x})

con respecto a x_i\,, encontramos por la regla de la cadena que:

\frac{\part}{\part x_i}f(\alpha\mathbf{x}) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(\alpha x_i) = \alpha ^k \frac{\part}{\part x_i}f(\mathbf{x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i}(x_i)

Y por tanto:

\alpha\frac{\part}{\part x_i}f(\alpha\mathbf{x}) = \alpha ^k \frac{\part}{\part x_i}f(\mathbf{x})

Y finalmente:

\frac{\part}{\part x_i}f(\alpha\mathbf{x}) =
\alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{x})

Aplicaciones del teorema[editar]

Aplicaciones en Termodinámica[editar]

Si la función de estado termodinámica es:

  • Homogénea de grado 1: función de variables extensivas :  \sum_{i=1}^n x_i \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=f
  • Homogénea de grado 0: función de variables intensivas :  \sum_{i=1}^n x_i \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=0

Bibliografía[editar]

  • Curso de Termodinámica José Aguilar Peris
  • Apuntes de la asignatura Fundamentos de termodinámica Grado de Física, Universidad de Santiago de Compostela, España