Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es

$M_{X}(t):=\mathbb {E} \left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} ,$

siempre que esta esperanza exista.

La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

$\mathbb {E} \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0).$

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.^{[cita requerida]}

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})$ es un vector aleatorio n-dimensional, se usa $\mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X}$ en lugar de $tX$ :

M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\mathbb {E} \left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right).

Cálculo

Si X tiene una función de densidad continua, f(x), entonces la función generadora de momentos viene dada por

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x$

$M_{X}(t)=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots ,$

donde $m_{i}$ es el i-ésimo momento. $M_{X}(-t)$ es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de f(x).

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)$

donde F es la función de distribución. Si X₁, X₂, ..., X_n es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},$

donde las a_i son constantes, entonces la función de densidad de S_n es la convolución de la función de densidad de cada una de las X_i y la función generadora de momentos para S_n viene dada por

$M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)$

Para variables aleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

$M_{X}(t)=\mathbb {E} \left(e^{\langle t,X\rangle }\right)$

donde t es un vector y $\langle t,X\rangle$ es el producto punto.

Relación con otras funciones

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generadora de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

Función característica: La función característica $\varphi _{X}(t)$ está relacionada con la función generadora de momentos via $\varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it):$ La función característica es la función generadora de momentos de iX o la función generadora de momentos de X evaluada en los ejes imaginarios.

Función generadora acumulada: La función generadora acumulada (o función generadora de cumulantes) está definida como el logaritmo de la función generadora de momentos; hay quien define la función generadora acumulada como el logaritmo de la función característica, mientras que otros llaman a esta función la segunda función generadora acumulada.

Función generadora de probabilidad

Véase también

Función generadora

Datos: Q535587