Función sigmoide

La curva logística.

Muchos procesos naturales y curvas de aprendizaje de sistemas complejos muestran una progresión temporal desde unos niveles bajos al inicio, hasta acercarse a un clímax transcurrido un cierto tiempo; la transición se produce en una región caracterizada por una fuerte aceleración intermedia. La función sigmoide permite describir esta evolución. Su gráfica tiene una típica forma de "S". A menudo la función sigmoide se refiere al caso particular de la función logística, cuya gráfica se muestra a la derecha y que viene definida por la siguiente fórmula:

$P(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}.$

Otro ejemplo es la curva de Gompertz, usada en la modelización de sistemas que se saturan para grandes valores de t.

Propiedades

En general, una función sigmoide es una función real de variable real diferenciable, con una primera derivada no-negativa o no-positiva y con, exactamente, un punto de inflexión. Hay también dos asíntotas, $t \rightarrow \pm \infty$.

El caso general $\frac{1}{1 + e^{-x}}.$ es particularmente útil, en especial en redes neuronales artificiales porque tiene una derivada simple: si s(x) es la función sigmoide, entonces s'(x) = s(x)·(1 - s(x)).

Ejemplos

Además de la función logística, el grupo de funciones sigmoides incluye la arcotangente, la tangente hiperbólica, la función error, la función Gompertz, la función logística generalizada y funciones algebraicas como $f(x)=\tfrac {x}{\sqrt{1+x^2}}$.

La integral de cualquier función continuamente diferenciable, positiva, con forma "abombada", será sigmoide, por tanto, la función de distribución de las más comunes distribuciones de probabilidad son sigmoides.

Véase también

• Distribución logística
• Regresión logística
• Logit
• Función hiperbólica
• Distribución Weibull

Bibliografía

• Tom M. Mitchell, Machine Learning, WCB-McGraw-Hill, 1997, ISBN 0-07-042807-7. En partícular véase "Chapter 4: Artificial Neural Networks" (p. 96-97) donde Mitchel usa la palabra "función logística" y "función sigmoide" como sinónimos (a esta función también la llama "la función que se aplasta" -"squashing function"-) y la función sigmoide (también conocida como logística) se usa para comprimir las salidas de las "neuronas" en redes neuronales multicapa.

Enlaces externos

• Implementación de la función sigmoide en C#
• Adopción de un modelo de mercado en Excel con una curva-s simplificada