Forma canónica de Jordan

En álgebra lineal, la forma canónica de Jordan es la forma de la matriz de un endomorfismo de un espacio vectorial en cierta base asociada a la descomposición en suma directa de subespacios invariantes bajo dicho endomorfismo. Dicha forma canónica consistirá en que la matriz estará formada por "bloques de Jordan" en la diagonal y bloques de ceros fuera de ella.

Introducción

Sea $f$ un endomorfismo sobre un $K$ -espacio vectorial $V$ de dimensión $n>1$ $(f:V\rightarrow V)$ . Si el polinomio característico de $f$ se factoriza completamente sobre el cuerpo $K$ (es decir, $K$ es el cuerpo de descomposición del polinomio característico de la matriz), existe una base donde la aplicación lineal viene dada por una "matriz de m bloques" ( $m\leq n$ ) con la siguiente forma canónica:

$J={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\dots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\dots &0\\\dots &\dots &\ddots &\dots \\0&0&\dots &\mathbf {A} _{m}\end{pmatrix}}\in K_{n\times n}$

Donde cada submatriz $\mathbf {A} _{k}$ es un bloque de Jordan.

$\mathbf {A} _{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{k}&1&0&\dots &0\\0&\lambda _{k}&1&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &\lambda _{k}\end{pmatrix}}\in K_{n_{k}\times n_{k}}$

Donde $\displaystyle \lambda _{1},...\lambda _{k}$ son raíces del polinomio característico (valores propios), y $\sum _{k=1}^{m}n_{k}=n,$
Cuando $\displaystyle f$ es diagonalizable, vale que $m=n$ y $n_{k}=1,\forall k$ , por lo que la forma canónica de Jordan de la matriz es una matriz diagonal.

Motivación

Considérese la situación de una matriz diagonalizable. Una matriz cuadrada es diagonalizable si la suma de las dimensiones de los espacios propios (eigenspaces) es el número de filas o columnas de la matriz. Examinemos la matriz siguiente:

$A={\begin{pmatrix}322&-323&-323&322\\325&-326&-325&326\\-259&261&261&-260\\-237&237&238&-237\end{pmatrix}}$

Tenemos valores propios de A que son sólo λ = 5, 5, 5, 5. Ahora bien, la dimensión del núcleo de $A-5Id$ es 1 (donde $Id$ representa la matriz identidad), por lo tanto A no es diagonalizable. Sin embargo, podemos construir la forma de Jordan de esta matriz. Dado que la dimensión es 1, sabemos que la forma de Jordan está compuesta de solo un bloque de Jordan, es decir, la forma de Jordan de A es:

$J=J_{4}(5)={\begin{pmatrix}5&1&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}$

Obsérvese que J puede escribirse como $5Id+N$ , donde N es una matriz nilpotente. Puesto que ahora tenemos A similar a dicha matriz simple, podremos realizar cálculos que involucren a A usando la forma de Jordan, lo que en muchos casos puede simplificar el cálculo. Por ejemplo, calcular potencias de matrices es significativamente más sencillo usando la forma de Jordan.

Ejemplo

Hallar la forma canónica de Jordan de la matriz

A={\begin{pmatrix}1&2&3&0&0\\0&1&2&0&0\\0&0&1&2&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}

Hallamos el polinomio característico:

P_{A}(\lambda )=(1-\lambda )^{4}(2-\lambda )

Sus raíces son $\lambda _{1}=1$ y $\lambda _{2}=2$ con multiplicidades 4 y 1 respectivamente.

${\underline {\lambda _{1}=1}}$

Comencemos con $\lambda _{1}$ , tenemos que hallar 4 vectores linealmente independientes, pues la multiplicidad de $\lambda _{1}$ es 4. Pero no valen 4 vectores cualesquiera. Hay que hacer lo siguiente:

Hallar la cadena de nucleos de $(A-\lambda _{1}Id),(A-\lambda _{1}Id)^{2},(A-\lambda _{1}Id)^{3},...$ hasta que la dimensión del último sea la multiplicidad de la raíz (4 en este caso).

B:=A-1\cdot Id={\begin{pmatrix}0&2&3&0&0\\0&0&2&0&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}

Calculando el rango de esta matriz nos da $rg(B)=4$ , luego su nulidad (la dimensión del nucleo) es $n(B)=dim(\mathbb {R} ^{5})-rg(B)=5-4=1$ . Resolviendo el sistema $BX=0$ , obtenemos que todas las coordenadas excepto la primera han de valer cero. Así pues, los vectores del núcleo de $B$ son: $Ker(A-1\cdot Id)=\{(x,0,0,0,0):x\in \mathbb {R} \}$ . Como la nulidad de B (es decir, la dimensión de $Ker(A-1\cdot Id)$ ) es 1, cualquier base de $Ker(A-1\cdot Id)$ estará formada por un único vector de $Ker(A-1\cdot Id)$ , linealmente independiente. Tomamos para formar la base, por ejemplo, al vector canónico $(1,0,0,0,0)$ .

$Ker(A-1\cdot Id)=<(1,0,0,0,0)>$ .

C:=(A-1\cdot Id)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&4&6&0\\0&0&0&4&0\\0&0&0&2&2\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}

Realizando un proceso análogo al anterior obtenemos que el rango de $C$ es 3, luego su nulidad es $n(C)=2$ . Resolviendo el sistema $CX=0$ se obtiene que todas las coordenadas de los vectores de $Ker(A-1\cdot Id)^{2}$ han de valer cero, excepto las dos primeras. Como $Ker(A-\lambda Id)\subset Ker(A-\lambda Id)^{2}$ , sabemos que podemos expandir la base de $Ker(A-1\cdot Id)$ para obtener una base de $Ker(A-1\cdot Id)^{2}$ . Elegimos entonces el vector $(0,1,0,0,0)$ . Así: $Ker(A-1\cdot Id)^{2}=<(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0)>$ .

D:=(A-1\cdot Id)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14&6\\0&0&0&4&4\\0&0&0&2&2\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}

El rango de esta matriz es $rg(D)=2$ . Su nulidad es por tanto 3. Resolvemos el sistema $DX=0$ y observamos que las dos últimas coordenadas han de valer 0. Expandemos la base de $Ker(A-1\cdot Id)^{2}$ para obtener la de $Ker(A-1\cdot Id)^{3}$ , por ejemplo con el vector (0,0,1,0,0): $Ker(A-1\cdot Id)^{3}=<(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0)>$

E:=(A-1\cdot Id)^{4}={\begin{pmatrix}0&0&0&14&14\\0&0&0&4&4\\0&0&0&2&2\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}

En este caso, la nulidad de $E$ es n(E)=4, y como la dimensión de $Ker(A-1\cdot Id)^{4}$ (es decir, la nulidad de $E$ ) no puede ser superior a la multiplicidad algebraica del autovalor 1, que es 4, ya hemos llegado a la dimensión máxima. Resolvemos el sistema $EX=0$ y concluímos que la suma de las últimas dos coordenadas ha de ser nula. Ahora tomamos un vector $v_{4}\in Ker(A-1\cdot Id)^{4}$ pero que no pertenezca a ninguno de los anteriores. Por ejemplo, $v_{4}=(0,0,0,1,-1)$ . Obtenemos así la base de $Ker(A-1\cdot Id)^{4}$ : $Ker(A-1\cdot Id)^{4}=<(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,-1)>$ .