Matriz nilpotente

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En álgebra lineal, una matriz N \in M_{n.n}(K) se dice que es nilpotente si existe k \in \mathbb{N} tal que N^k = 0\,.

Teorema[editar]

Si A\, es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

Demostración[editar]

Si A es una matriz nilpotente de orden k, A^k=0\,

Por lo tanto: \det(A^k)=0\,

Luego: \det(A)^k=0\, por lo que \det(A)=0\,

El recíproco no es cierto: la matriz

 
S = \begin{bmatrix} 
1 & 1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}

tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.

Ejemplos[editar]

La matriz

 
M = \begin{bmatrix} 
0 & 1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}

es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz

 
N = \begin{bmatrix} 
0 & 2 & 1 & 6\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}

es nilpotente, con


N^2 =   \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 2 & 7\\
                    0 & 0 & 0 & 3\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
                 \end{bmatrix} 

;\ 
N^3 =   \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 0 & 6\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
               \end{bmatrix}

;\ 
N^4 =  \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
               \end{bmatrix}.

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, una típica matriz nilpotente no lo tiene. Por ejemplo, las matrices

 
\begin{bmatrix} 
6 & -9 \\
4 & -6
\end{bmatrix}\qquad\text{y}\qquad
\begin{bmatrix} 
5 & -3 & 2 \\
15 & -9 & 6 \\
10 & -6 & 4
\end{bmatrix}

ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.

Propiedades adicionales[editar]

  • Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n (n × n). El inverso viene dado por:
(I + N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3 + \cdots,
donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.
  • Si N es nilpotente, entonces
\det (I + N) = 1,\!\,
donde I es de nuevo la matriz identidad de orden n. Recíprocamente, si A es una matriz y
\det (I + tA) = 1\!\,
para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.
  • Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matrices nilpotentes.[1]

Generalizaciones[editar]

Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que

T^k(v) = 0.\!\,

Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.

Referencias[editar]

  1. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3