Subespacio invariante

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Dada una transformación lineal T : \mathbb{V} \to \mathbb{V} se dice que un subespacio S de \mathbb{V} es un subespacio invariante frente a T (o T-invariante) si para todo vector \mathbf{ s }\in S se cumple que T(\mathbf{s}) \in S. Dicho de otra manera, S es un subespacio invariante si T(S)\subseteq S.

Ejemplos[editar]

Gráfica de dos vectores y sus respectivas transformaciones mediante una rotación respecto al eje z. Se observa que el vector contenido en el plano xy (amarillo) tiene una transformada (verde) en el mismo plano
  • Consideremos \mathbb{V}=\mathbb{R}^3 y T una transformación lineal que rota un vector dado alrededor del eje z. Notemos que el plano xy (llamémoslo S = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:z=0\}) es un subespacio de \mathbb{V}.

Al rotar un vector cualquiera de este plano alrededor del eje z se obtiene otro vector en el mismo plano. Es decir que para todo \mathbf{s}\in S se tiene que T(\mathbf{s})\in S, o bien, si transformamos cualquier vector contenido en xy obtenemos otro vector también contenido en este plano. Por lo tanto, el plano S es T-invariante.

  • El núcleo de una transformación lineal T es un subespacio T-invariante.
Demostración
Si definimos T : \mathbb{V} \to \mathbb{V} entonces su núcleo está dado por el conjunto \mathrm{Nu}(T) = \{\mathbf{v}\in\mathbb{V}:T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\} donde 0 es el vector nulo definido en \mathbb{V}.

Se sabe que para toda transformación lineal vale que T(\mathbf{0})=\mathbf{0} entonces evidentemente \mathbf{0}\in\mathrm{Nu}(T) (esto se ve sustituyendo \mathbf{v}=\mathbf{0} en la definición de núcleo). Pero esto implica que T(\mathbf{0})\in\mathrm{Nu}(T) (son vectores iguales) entonces \mathrm{Nu}(T) es T-invariante porque todo vector del núcleo transformado también pertenece a él.

  • Consideremos ahora una transformación lineal T con un autovector v. El subespacio generado por v es un subespacio T-invariante.
Demostración
Se puede comprobar que el conjunto S_{\lambda}=\{\mathbf{v}\in\mathbb{V}:T(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}, \ \lambda \in \mathbb{K}\} (con \mathbb{K} el cuerpo sobre el cual están definidos los escalares en \mathbb{V}) es un subespacio de \mathbb{V} (basta con comprobar que el elemento neutro e inverso para la suma, así como la suma de dos vectores y el producto de un vector por un escalar están contenidos en S_{\lambda}). Este conjunto se llama espacio propio asociado al autovalor \lambda.

Es simple demostrar que es invariante, ya que para todo \mathbf{v}\in S_{\lambda} su transformada T(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}\in S_{\lambda}, basta ver que T(\lambda\mathbf{v})=\lambda T(\mathbf{v})=\lambda\cdot(\lambda \mathbf{v}). En conclusión, todo autovector transformado también es autovector y, por lo tanto, el espacio S_{\lambda} que generan es invariante.

  • Vamos a un ejemplo más concreto, consideremos la transformación lineal T : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida como T(x)=A x donde 
   A =
   \begin{bmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 3 \\
      0 & -4 & 5
   \end{bmatrix}
entonces el subespacio generado por el vector (1,0,0) es un subespacio invariante frente a T, ya que el vector mencionado es un autovector de T (está asociado al autovalor 1, se ve que 
   T \left(
   \begin{smallmatrix}
   1 \\ 0 \\ 0
   \end{smallmatrix}
   \right) = \left(
   \begin{smallmatrix}
   1 \\ 0 \\ 0
   \end{smallmatrix}\right)
).
  • Generalizando el ejemplo anterior, dada la Forma canónica de Jordan de una transformación lineal, cada uno de los subespacios asociados a los bloques de Jordan son subespacios invariantes frente a la transformación en cuestión.
  • La imagen de una transformación lineal también es un subespacio invariante frente la transformación en cuestión.
Demostración
Sea T una transformación lineal, si T no es endomorfismo entonces inmediatamente se deduce que no existe ningún vector de la imagen que tenga transformada, ya que por definición de T un vector de la imagen no correspondería a un vector del espacio de partida, entonces T\big(\mathrm{Im}(T)\big)=\emptyset\subset\mathrm{Im}(T) y por lo tanto, para este caso, \mathrm{Im}(T) es T-invariante.

Supongamos ahora que T es un endomorfismo, es decir, definamos cierta T : \mathbb{V} \to \mathbb{V}. Podría pasar que todo vector de la imagen tuviera a su vez una transformada, en cuyo caso T\big(\mathrm{Im}(T)\big)=\mathrm{Im}(T) pero también podría ser que sólo algunos vectores tuvieran transformada. Veamos que es imposible que, en un endomorfismo, ninguno la tenga, puesto que el vector nulo siempre tiene como transformada al vector nulo, por lo tanto pertenece a la imagen de T y a su vez podemos volver a transformarlo como vector de la imagen para obtener cero nuevamente...

Conclusión: T\big(\mathrm{Im}(T)\big)\subseteq\mathrm{Im}(T) y queda demostrado que \mathrm{Im}(T) es T-invariante.

Simetrías[editar]

  • Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna su reflexión respecto al eje y, es decir T(x,y)=(-x,y). El subespacio generado por el vector (1,0) es T-invariante, mientras que (1,1) no.
  • Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna la reflexión respecto al origen de coordenadas, es decir T(x,y)=(-x,-y). Entonces todo subespacio de R2 es invariante frente a dicha reflexión.

Observación[editar]

Notemos que la palabra “invariante” puede generar confusión en el siguiente sentido: Un subespacio puede ser invariante y sin embargo “variar” bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es T(S)\subseteq S y no T(S)=S.

Véase también[editar]