Subespacio invariante

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Dada una transformación lineal T: V → V se dice que un subespacio W de V es un subespacio invariante frente a T (o T-invariante) si para todo vector wW se cumple que T(w)W. Dicho de otra manera, W es un subespacio invariante si T(W) ⊂ W.

Ejemplos[editar]

  1. Consideremos V = R3 y T una rotación alrededor del eje z (T es una transformación lineal). Primero notemos que el plano x-y (llamémoslo W) es un subespacio de V. Al rotar un vector cualquiera del plano x-y alrededor del eje z se obtiene otro vector en el plano x-y. Es decir que para todo wW se tiene que T(w) ∈ W. Es decir que el plano x-y es un subespacio invariante frente a una rotación alrededor del eje z.
  2. El núcleo de una transformación lineal T es un subespacio T-invariante.
  3. Consideremos ahora una transformación lineal T con un autovector v. El subespacio generado por v es un subespacio T-invariante.
  4. Consideremos la transformación lineal T: R3 → R3 definida como T(x)=Ax donde 
   A =
   \begin{bmatrix}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 3 \\
      0 & -4 & 5
   \end{bmatrix}
entonces el subespacio generado por los vectores (0,1,0) y (0,0,1) es un subespacio invariante frente a T.
  5. Generalizando el ejemplo anterior, dada la Forma canónica de Jordan de una transformación lineal, cada uno de los subespacios asociados a los bloques de Jordan son subespacios invariantes frente a la transformación en cuestión.
  6. La imagen de una transformación lineal también es un subespacio invariante frente la transformación en cuestión.
  7. Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna su reflexión respecto al eje y, es decir T(x,y)=(-x,y). El subespacio generado por el vector (1,0) es invariante frente a la transformación T. Por otro lado el subespacio generado por el vector (1,1) no es invariante frente a la transformación T.
  8. Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna la reflexión respecto al origen de coordenadas, es decir T(x,y)=(-x,-y). Entonces todo subespacio de R2 es invariante frente a dicha reflexión.
  9. Ejemplo relacionado con la forma canónica de Jordan (J) y la matriz de paso P:
  10. Sea R2[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con Bc (R2[x]) = � �{1, x, x2}. Sabiendo que f : R2[x] → R2[x] es un endomorfismo no estrictamente diagonalizable del que se #sabe:
  11. + f(1 + 2x + 2x^2) = 2 + x + x^2
  12. + x1 − x2 = 0 son las ecuaciones implícitas en Bc (R2[x])= de un subespacio invariante.
  1. Solución:
  2. Como V ≡ x1−x2 = 0 es un subespacio invariante y dim V = 2 hay un autovalor λ0 al menos
  3. de multiplicidad 2. Además, si λ0 fuese doble existiría otro autovalor λ1 simple con dim N1,λ1 = 1,lo que implicaría que f fuese estrictamente diagonalizable en contra del enunciado. Por tanto,
  4. λ0 es un autovalor triple con V = N1,λ0, es decir, dim N1,λ0 = 2. Consiguientemente J es de la forma:
     λ0 0 0
  1. J = 1 λ0 0
     0 0 λ0
  1. Además, como el vector u1 = 1 + 2x + 2x^2 tiene coordenadas (1, 2, 2) en Bc (R2[x]) y no verifica las ecuaciones de V , u1 = (1, 2, 2) no pertenece a V = N1,λ0, siendo un vector de N2,λ0.
  2. Entonces el vector u2 = (f − λ0I) u1
  1. u2 = (f − λ0I)u1 = f(u1) − λ0u1 = f(1, 2, 2) − λ0(1, 2, 2) = (2, 1, 1) − λ0(1, 2, 2) = (2 − λ0, 1 − 2λ0, 1 − 2λ0)
  1. será un vector de N1,λ0, y consiguientemente verificará sus ecuaciones x1 − x2 = 0, es decir,
  1. 2 − λ0 − 1 + 2λ0 = 0 ⇔ λ0 = −1
  1. Así, si B = {u1, u2, u3} es una base respecto de la cual la matriz de f es J, se tiene que u1 = (1, 2, 2), u2 = (3, 3, 3) y u3 es un vector cualquiera de N1,−1 ≡ x1 − x2 = 0 independiente con u2, por ejemplo u3 = (1, 1, 0). Por #consiguiente una forma canónica de Jordan J y su correspondiente matriz de paso P son:


    −1 0  0
  1. J = 1 −1 0
    0  0 −1
     1 3 1
  1. P = 2 3 1
     2 3 0

Observación[editar]

Notemos que la palabra “invariante” puede generar confusión en el siguiente sentido: Un subespacio puede ser invariante y sin embargo “variar” bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es T(W) ⊂ W y no T(W)=W.

Véase también[editar]