Fórmulas de Newton-Cotes

En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral.

Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.

Introducción

Para la integración numérica de $\int _{a}^{b}f(x)dx$ utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo $[a,b]$ en $n$ intervalos iguales. Así se obtienen $n+1$ puntos donde se evaluará la función:

$a\leq x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}\leq b.$

Si $a=x_{0}$ y $b=x_{n}$ se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo se utilizará la siguiente función:

$p(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{k})L_{n,k}(x)$

donde:

$L_{in}(x)={\frac {(x-x_{0})\cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})\cdots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\cdots (x_{k}-x_{n})}}$

es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

$\int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{i=0}^{n}f(x_{k}){\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{n,k}(x)dx.$

Esta función se expresa de la siguiente forma

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}p(x)dx=(b-a)\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})$

Donde los "pesos" w_k están definidos por

$w_{k}={\frac {1}{(b-a)}}\int _{a}^{b}L_{n,k}(x)dx$

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

La notación $\displaystyle f_{i}$ es una abreviatura de $\displaystyle f(x_{i})$, con   $\displaystyle x_{i}=a+ih$,   $\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}$   y   $\displaystyle n$ el grado.

Regla del trapecio

Ilustración de la regla del trapecio.

La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a través de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$

Y el error es:

$-{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )$

Siendo $\xi$ un número entre a y b.

Regla de Simpson

Ilustración de la regla de Simpson.

La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$

Y el error es:

$-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi ),$

siendo $\xi$ un número entre a y b.

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$.

Y el error es:

$-{\frac {3h^{5}}{80}}f^{(4)}(\xi ),$

Siendo $\xi$ un número entre a y b.

Regla de Boole

La regla de Boole (llamada así debido a George Boole) utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$

Y el error es:

$-{\frac {8h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )$

Siendo $\xi$ un número entre a y b.

Regla de quinto orden

La regla de quinto orden utiliza seis puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de quinto grado.

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {5h}{288}}(19f_{0}+75f_{1}+50f_{2}+50f_{3}+75f_{4}+19f_{5})$

Regla de Sexto orden

La regla de sexto orden utiliza siete puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de sexto grado.

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {h}{140}}(41f_{0}+216f_{1}+27f_{2}+272f_{3}+27f_{4}+216f_{5}+41f_{6})$

Error para el n-ésimo orden

Si $f\in {\mathcal {C}}^{n+1}[a,b]$ para una partición $a=x_{0}<...<x_{n}=b$, donde $h={\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}$ y $x_{k}=x_{0}+kh$ para todo $k\in \{0,...,n\}$ y $n\in \mathbb {N}$ impar se cumple que:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}\pi _{n+1}(x)dx$

para algún $\xi \in (x_{0},x_{n})$, donde $\pi _{n+1}(x)=\prod _{k=0}^{n}(x-x_{k})$ y $w_{k}=\int _{x_{0}}^{x_{n}}L_{n,k}(x)dx$.

Para realizar la integral $\int _{x_{0}}^{x_{n}}\pi _{n+1}(x)dx=\int _{x_{0}}^{x_{n}}(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{n})dx$ utilizando el hecho de que $x_{k}=x_{0}+kh$ para todo $k\in \{0,...,n\}$, debe llegarse a la integral de la forma:

$\int _{x_{0}}^{x_{n}}n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)\left(n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)-h\right)\left(n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)-2h\right)...\left(n\left({\frac {x-x_{0}}{n}}\right)-nh\right)dx$

Luego, sustitúyase $u={\frac {x-x_{0}}{n}}$ para obtener

$\int _{0}^{h}n(nu)(nu-h)(nu-2h)\cdots (nu-nh)du$,

después debe efectuarse la sustitución $y=nu$ la cual trasforma la integral en

$\int _{0}^{nh}y(y-h)(y-2h)\cdots (y-nh)dy$.

De lo anterior, sustitúyase $t={\frac {y}{h}}$ para obtener

$h^{n+2}\int _{0}^{n}t(t-1)(t-2)\cdots (t-n)dt=h^{n+2}\int _{0}^{n}(t)_{n}(t-n)dt$,

donde $(t)_{n}$ es el símbolo de Pochhammer. Obsérvese que si $n=2$ se tiene que $t(t-t_{1})(t-t_{2})=t^{3}-(t_{1}+t_{2})t^{2}+t_{1}t_{2}$, si $n=3$, $t(t-t_{1})(t-t_{2})(t-t_{3})=t^{4}-(t_{1}+t_{2}+t_{3})t^{3}+(t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{2})t^{2}-t_{1}t_{2}t_{3}$, lo coeficientes de los términos del polinomio pueden escribirse como:

$\sum _{X\in {\tbinom {[3]}{1}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1\}}t_{i}+\prod _{i\in \{2\}}t_{i}+\prod _{i\in \{3\}}t_{i}=t_{1}+t_{2}+t_{3}$

$\sum _{X\in {\tbinom {[3]}{2}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1,2\}}t_{i}+\prod _{i\in \{1,3\}}t_{i}+\prod _{i\in \{2,3\}}t_{i}t_{1}t_{2}+t_{1}t_{3}+t_{2}t_{2}$

$\sum _{X\in {\tbinom {[3]}{2}}}\prod _{i\in X}t_{i}=\prod _{i\in \{1,2,3\}}t_{i}=t_{1}t_{2}t_{3}$

donde se define ${\tbinom {X}{k}}=\{Y\subseteq X:|X|=k\}$ y $[n]=\{1,2,...,n\}$ para algún $n\in \mathbb {N}$. Por lo tanto, para cualquier $l\in [n]$ se cumple que

$\prod _{l\in [n]}t(t-t_{l})=\left(\sum _{l=0}^{n}(-1)^{l}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{l}}}\prod _{i\in X}t_{i}\right)t^{n-l+1}$

Si tomamos $t_{i}=i$, se reescribe la integral como

$h^{n+2}\int _{0}^{n}(t)_{n}(t-n)dt=h^{n+2}\int _{0}^{n}\prod _{k=0}^{n}(t-k)dt=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\int _{0}^{n}t^{n-k+1}dt$,

de esto se obtiene

$h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}$

donde $\left[{n \atop k}\right]$ es el número de Stirling de primera especie. Tengamos en consideración que el número de Stirling de primera especie con signo se escribe como $s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right]$, de manera que si $(-1)^{(n+1)-(n-k+1)}=(-1)^{k}$ se obtiene que

$h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\right){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}$

así, para $n\in \mathbb {N}$ impar la fórmula de Newton-Cotes cerrada queda

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\left(\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1){\frac {n^{n-k+2}}{n-k+2}}\right){\frac {h^{n+2}f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}$

Si $f\in {\mathcal {C}}^{n+2}[a,b]$ para una partición $a=x_{0}<...<x_{n}=b$, donde $h={\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}$ y $x_{k}=x_{0}+kh$ para todo $k\in \{0,...,n\}$ y $n\in \mathbb {N}$ par se cumple que:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}\int _{x_{0}}^{x_{n}}x\pi _{n+1}(x)dx$

para algún $\xi \in (x_{0},x_{n})$, procediendo con un razonamiento análogo al caso donde $n\in \mathbb {N}$ es impar, la anterior expresión queda de la forma:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\left(\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1){\frac {n^{n-k+3}}{n-k+3}}\right){\frac {h^{n+3}f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}$.

para algún $\xi \in (x_{0},x_{n})$.

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.

Dada una función $f\in {\mathcal {C}}^{n+1}[a,b]$, se hace una partición del intervalo $[a,b]$ en $n+2$ subintervalos de medidas equivalentes, donde los extremos del intervalo son $x_{-1}=a$ y $x_{n+1}=b$ de manera que $a=x_{-1}<x_{0}<...<x_{n}<x_{n+1}=b$ y $x_{0}=x_{-1}+h=a+h$, donde $h={\frac {x_{n+1}-x_{-1}}{n+2}}$ y $x_{k}=x_{0}+kh$ para todo $k\in \{0,...,n\}$ y $n\in \mathbb {N}$ impar la integral de $f$ sobre el intervalo satisface la igualdad:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}\pi _{n+1}(x)dx$

para algún $\xi \in (x_{-1},x_{n+1})$, donde $\pi _{n+1}(x)=\prod _{k=0}^{n}(x-x_{k})$ y $w_{k}=\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}L_{n,k}(x)dx$.

Para encontrar la expresión general del error se procede de una manera similar a la implementada para hallar la fórmula del error de las fórmulas de Newton-Cotes cerradas. Para hallar integral $\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}\pi _{n+1}(x)dx=\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})dx$, puesto que $x_{k}=x_{0}+kh$ para todo $k\in \{0,...,n\}$, $x_{0}=x_{-1}+h$ y $x_{n}=x_{n+1}-h=x_{0}+nh=x_{-1}+(n+1)h$, se realizan los correspondientes artificios algebraicos para obtener la integral de la forma:

$\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}\left((n+2)\left({\frac {x-x_{-1}}{n+2}}\right)-h\right)\left((n+2)\left({\frac {x-x_{-1}}{n+2}}\right)-2h\right)...\left((n+2)\left({\frac {x-x_{-1}}{n+2}}\right)-(n+1)h\right)dx$

Luego se efectúa en cambio el variable $u={\frac {x-x_{-1}}{n+2}}$, para el cual la integral nos queda como

$\int _{0}^{h}(n+2)((n+2)u-h)((n+2)u-2h)\cdots ((n+2)u-(n+1)h)du$,

luego, sustitúyase $y=(n+2)u$, para lo cuál se obtiene

$\int _{0}^{(n+2)h}(y-h)(y-2h)\cdots (y-(n+1)h)dy$,

ulterior a esto sustituya $t={\frac {y}{h}}-1$ de modo que

$\int _{-1}^{n+1}h(ht)(ht-h)\cdots (ht-nh)dt=h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}t(t-1)\cdots (t-n)dt=h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}(t)_{n}(t-n)dt$

donde $(t)_{n}$ es el símbolo de Pochhammer. Así, la integral se puede expresar como

$h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}(t)_{n}(t-n)dt=h^{n+2}\int _{-1}^{n+1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)t^{n-k+1}dt=h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\int _{-1}^{n+1}t^{n-k+1}dt$

integrando la expresión nos queda

$h^{n+2}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sum _{X\in {\tbinom {[n]}{k}}}\prod _{i\in X}i\right)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)$

donde $\left[{n \atop k}\right]$ es el número de Stirling de primera especie. Puesto que el número de Stirling de primera especie con signo se escribe como $s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{n \atop k}\right]$, se deduce de esto que $(-1)^{(n+1)-(n-k+1)}=(-1)^{k}$ y por lo tanto se obtiene que

$h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[{n+1 \atop n-k+1}\right]\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)=h^{n+2}\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right)$

de esta manera, para $n\in \mathbb {N}$ impar la fórmula de Newton-Cotes abierta queda

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1)\left({\frac {(n+1)^{n-k+2}-(-1)^{n-k+2}}{n-k+2}}\right){\frac {h^{n+2}f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}}$

Supongamos que $f$ es una función tal que $f\in {\mathcal {C}}^{n+2}[a,b]$, donde una partición del intervalo $[a,b]$ en $n+2$ subintervalos de medidas equivalentes, donde los extremos del intervalo son $x_{-1}=a$ y $x_{n+1}=b$ de manera que $a=x_{-1}<x_{0}<...<x_{n}<x_{n+1}=b$ y $x_{0}=x_{-1}+h=a+h$, donde $h={\frac {x_{n+1}-x_{-1}}{n+2}}$ y $x_{k}=x_{0}+kh$ para todo $k\in \{0,...,n\}$ y $n\in \mathbb {N}$ par, la fórmula de Newton-Cotes abierta es

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+{\frac {f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}\int _{x_{-1}}^{x_{n+1}}x\pi _{n+1}(x)dx$

para algún $\xi \in (x_{-1},x_{n+1})$. Puede demostrarse análogamente al caso $n\in \mathbb {N}$ impar que la formula tiene la forma:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n}w_{k}f(x_{k})+\sum _{k=0}^{n}s(n+1,n-k+1)\left({\frac {(n+1)^{n-k+3}-(-1)^{n-k+3}}{n-k+3}}\right){\frac {h^{n+3}f^{n+2}(\xi )}{(n+2)!}}$

para algún $\xi \in (x_{-1},x_{n+1})$.

Regla del punto medio -Integración de Riemann

Ilustración de la regla del punto medio.

En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.

$\int _{a}^{b}f(x)dx\sim (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)$

Y el error es:

${\frac {(b-a)^{3}}{24}}\,f^{(2)}(\xi )$

Para algún $\xi \in (a,b)$.

Reglas compuestas

Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precisión si se aumenta el número de intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada vez más pequeños. Como el intervalo $[a,b]$ generalmente es grande hay métodos que subdividen este intervalo en subintervalos más pequeños y a estos se les aplica las Fórmulas de Newton-Cotes, a la suma de estos subintervalos se le conoce como reglas compuestas. Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de disminuir la eficiencia del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo.

Regla del trapecio compuesta

Este es un ejemplo de regla compuesta.

$\int _{a}^{b}f(x)dx\sim {\frac {b-a}{n}}\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right)$

Donde   $\displaystyle x_{i}=a+i\times h$   son los subintervalos,

tal que   $\ x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}$   y   $\ a=x_{0},\;x_{n}=b$

siendo:   $\ h={\frac {b-a}{n}}$   la distancia entre los subintervalos.

Referencias

• Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica, Fórmulas de Newton-Cotes, Fórmulas de Gauss. Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López. Marzo de 2007. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM
• Burden, R. L., & Faires, J. D. (2010). Numerical Analysis, 9th Edition - Cengage. https://faculty.ksu.edu.sa/sites/default/files/numerical_analysis_9th.pdf. https://www.cengage.com/c/numerical-analysis-9e-/9780538733519PF/.ISBN-13: 978-0-538-73351-9.Consultado el 26 de abril de 2024.pp.193-201.

Enlaces externos

• http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_cotes_rules
• http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Cotes-Formeln
• http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoDeNewtonCotes
• http://tcam.qui.uam.es/luism/p605.pdf
• http://es.wikipedia.org/wiki/Integración_numérica

• Datos: Q944241