Cuadratura de Gauss

En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos x_i y los coeficientes w_i para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1]dada por:

$\int_{-1}^1 f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

$\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 W(x) g(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i g(x_i).$

Formula para calcular $w_i$

$w_i = \frac{2}{\left( 1-x_i^2 \right) [P'_n(x_i)]^2} \,\!$

Lista de coeficientes de $w_i$ y puntos $x_i$ para n=1,....,5

Número de puntos, n	Puntos, xi	Pesos, wi
1	$x_1$=0	$w_1$ =2
2	$x_1=-1/\sqrt{3}$ $x_2=1/\sqrt{3}$	$w_1$ =1 $w_2$ =1
3	$x_1$=-0.7745966 $x_2$=0 $x_3$=0.7745966	$w_1$ =0.55555 $w_2$ =0.88888 $w_3$ =0.55555
4	$x_1$=-0.861136311 $x_2$=-0.33998104 $x_3$=0.33998104 $x_4$=0.861136311	$w_1$ =0.3478548451 $w_2$ =0.6521451549 $w_3$ =0.6521451549 $w_4$ =0.3478548451
5	$x_1$=-0.90617984 $x_2$=-0.53846931 $x_3$=0 $x_4$=0.53846931 $x_5$=0.90617984	$w_1$ =0.23692688509 $w_2$ =0.4786286705 $w_3$ =0.56888888$w_4$ =0.4786286705 $w_5$ =0.23692688509

Cambio de intervalos

Los cambios de intervalos van de [−1, 1] después de aplicar la cuadratura de Gauss:

$\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx$

Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$

Ejemplo

Aproxime la integral $f(x)=x^3+2x^2$ de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después comparelo con el resultado exacto.

$\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx$

$\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx=238. 66667$

$n=2$

$2n-1= 2(2)-1= 3$

Con $n=2$ podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)

$\frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx= \frac{5-1}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{5-1}{2}x + \frac{5+1}{2}\right)\,dx= 2\int_{-1}^1 f\left(2x+3\right)\,dx$

$\approx 2 \sum_{i=1}^2 w_i f(2x_i + 3)=2(w_1 f(2x_1 +3)+w_2 f(2x_2 +3))=238. 66667$

Referencias

• Esta obra deriva de la traducción de Gaussian quadrature, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés.
• http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/cuadratura_gauss.htm
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1998). «§4.7: Cuadratura gaussiana». Análisis numérico. ISBN 968-7529-46-6.