Cuadratura de Gauss

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En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1]dada por:

\int_{-1}^1 f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

\int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_{-1}^1 W(x) g(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n w_i g(x_i).

Fórmula para calcular w_i[editar]

 w_i = \frac{2}{\left( 1-x_i^2 \right) [P'_n(x_i)]^2} \,\!

Lista de coeficientes de w_i y puntos x_i para n=1,....,5[editar]

Número de puntos, n Puntos, xi Pesos, wi
1 0 2
2 \pm \sqrt{1/3} 1
3 0 89
\pm\sqrt{3/5} 59
4 \pm\sqrt{\Big( 3 - 2\sqrt{6/5} \Big)/7} \tfrac{18+\sqrt{30}}{36}
\pm\sqrt{\Big( 3 + 2\sqrt{6/5} \Big)/7} \tfrac{18-\sqrt{30}}{36}
5 0 128225
\pm\tfrac13\sqrt{5-2\sqrt{10/7}} \tfrac{322+13\sqrt{70}}{900}
\pm\tfrac13\sqrt{5+2\sqrt{10/7}} \tfrac{322-13\sqrt{70}}{900}

Cambio de intervalos[editar]

Los cambios de intervalos van de [−1, 1] después de aplicar la cuadratura de Gauss:


\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x 
+ \frac{a+b}{2}\right)\,dx

Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:


\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)

Ejemplo[editar]

Aproxime la integral f(x)=x^3+2x^2 de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después comparelo con el resultado exacto.

\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx
\int_{1}^5 (x^3+2x^2)\,dx=238. 66667

n=2

2n-1= 2(2)-1= 3

Con n=2 podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)


 \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x 
+ \frac{a+b}{2}\right)\,dx=
 \frac{5-1}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{5-1}{2}x 
+ \frac{5+1}{2}\right)\,dx= 2\int_{-1}^1 f\left(2x+3\right)\,dx

 \approx 2 \sum_{i=1}^2 w_i f(2x_i + 3)=2(w_1 f(2x_1 +3)+w_2 f(2x_2 +3))=238. 66667

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]